数理科学�演習問題 ２００２年４月 担当教官: 坪井 俊

http://kyokan.ms.u-tokyo.ac.jp/users/tsuboi/suurikagaku3table2002.html

問題１．パラメータ表示された滑らかな平面曲線 s ⟼ q^{→}(s) = (ξ(s), η(s)) について、接ベ

クトル p^{→}(s) = \frac{d q^{→}}{d s}(s) = (ξ′(s), η′(s)) の長さが 1 である ( ∥\frac{d q^{→}}{d s}(s)∥ = \sqrt{(ξ′(s))^{2} + (η′(s))^{2}} = 1)

とする。

(1) n^{→}(s) = (−η′(s), ξ′(s)) と置くと、ある関数 κ(s) があって、\frac{d p^{→}}{d s}(s) = κ(s)n^{→}(s) となることを示せ。

(2) 行列 (\begin{matrix}p^{→}(s) \\ n^{→}(s) \end{matrix}) に対し、\frac{d}{d s} (\begin{matrix}p^{→}(s) \\ n^{→}(s) \end{matrix}) = (\begin{matrix}0 & κ(s) \\ −κ(s) & 0 \end{matrix}) (\begin{matrix}p^{→}(s) \\ n^{→}(s) \end{matrix}) を示せ。

問題２．パラメータ表示された滑らかな空間曲線 s ⟼ q^{→}(s) = (ξ(s), η(s), ζ(s)) について、接ベクトル p^{→}(s) = \frac{d q^{→}}{d s}(s) = (ξ′(s), η′(s), ζ′(s)) の長さが 1 である

(∥\frac{d q^{→}}{d s}(s)∥ = \sqrt{(ξ′(s))^{2} + (η′(s))^{2} + (ζ′(s))^{2}} = 1) とする。 κ(s) = ∥\frac{d p^{→}}{d s}(s)∥ ≠ 0 と仮定し、

n^{→}(s) = \frac{1}{κ(s)} \frac{d p^{→}}{d s}(s) と置く。行ベクトル b^{→}(s) を p^{→}(s), n^{→}(s) に直交する単位ベクトルであって、

行ベクトルを並べて得られる行列(\begin{matrix}p^{→}(s) \\ n^{→}(s) \\ b^{→}(s) \end{matrix}) の行列式が 1 となるものとする。

(1) 行列(\begin{matrix}p^{→}(s) \\ n^{→}(s) \\ b^{→}(s) \end{matrix}) に対し\frac{d}{d s} (\begin{matrix}p^{→}(s) \\ n^{→}(s) \\ b^{→}(s) \end{matrix}) = (\begin{matrix}0 & κ(s) & 0 \\ −κ(s) & 0 & τ(s) \\ 0 & −τ(s) & 0 \end{matrix}) (\begin{matrix}p^{→}(s) \\ n^{→}(s) \\ b^{→}(s) \end{matrix}) となることを

示せ。

(2) κ > 0, τ > 0 とするとき、曲線

s ⟼ q^{→}(s) = (\frac{τ}{\sqrt{κ^{2} + τ^{2}}} s , \frac{κ}{κ^{2} + τ^{2}} cos(\sqrt{κ^{2} + τ^{2}} s) , −\frac{κ}{κ^{2} + τ^{2}} sin(\sqrt{κ^{2} + τ^{2}} s)) について、

∥p^{→}(s)∥ = 1, \frac{d p^{→}}{d s}(s) ≠ (0, 0, 0) を確かめ、上の n^{→}(s), b^{→}(s) を求め、上の微分方程式を書き下せ。またこの曲線の概形について説明せよ。