数理科学�演習問題 ２００２年５月 担当教官: 坪井 俊

http://kyokan.ms.u-tokyo.ac.jp/users/tsuboi/suurikagaku3table2002.html

問題１．２変数関数のグラフ z = f(x, y) と接平面の関係について以下の問に答えよ。

f(x, y) のグラフが (x_{0}, y_{0}) をとおる平面上の直線 (x_{0} + t cos θ, y_{0} + t sin θ) 上でどのように変化するかをみるためには θ を直線の方向として、 g_{θ}(t) = f(x_{0} + t cos θ, y_{0} + t sin θ) の t についての微分を計算すればよい。

(1) f(x, y) が２回連続微分可能として、 t = 0 における２階微分\frac{d^{2} g_{θ}}{d t^{2}} を計算せよ。

(2) （\frac{d^{2} g_{θ}}{d t^{2}} が θ によらず常に正ならば、グラフ z = f(x, y) の (x_{0}, y_{0}, f(x_{0}, y_{0})) における接平面は、接点の近傍で接点以外では f(x, y) のグラフの下側にある。各点でこれが成り立つとき、グラフは下に凸であるという。）

(x_{0}, y_{0}) において、対称行列(\begin{matrix}\frac{∂^{2}f}{∂x^{2}} & \frac{∂^{2}f}{∂x∂y} \\ \frac{∂^{2}f}{∂x∂y} & \frac{∂^{2}f}{∂y^{2}} \end{matrix} ) の行列式とトレースがともに正であるならば、

f(x, y) のグラフは (x_{0}, y_{0}, f(x_{0}, y_{0})) （の近傍）において下に凸であることを示せ。

(3) 対称行列(\begin{matrix}\frac{∂^{2}f}{∂x^{2}} & \frac{∂^{2}f}{∂x∂y} \\ \frac{∂^{2}f}{∂x∂y} & \frac{∂^{2}f}{∂y^{2}} \end{matrix} ) の行列式が負ならば、グラフ z = f(x, y) の (x_{0}, y_{0}, f(x_{0}, y_{0}))

における接平面と、 f(x, y) のグラフは、接点以外で交わることを示せ。

上の問題から、平面上の２回連続微分可能な関数 f(x, y) について、\frac{∂f}{∂x}(x_{0}, y_{0}), \frac{∂f}{∂y} (x_{0}, y_{0}),

(\begin{matrix}\frac{∂^{2}f}{∂x^{2}} (x_{0}, y_{0}) & \frac{∂^{2}f}{∂x∂y} (x_{0}, y_{0}) \\ \frac{∂^{2}f}{∂x∂y} (x_{0}, y_{0}) & \frac{∂^{2}f}{∂y^{2}} (x_{0}, y_{0}) \end{matrix}) の行列式とトレースを見て、極大極小の判定が出来ることがわかる。

問題２． f(x, y) = cos x · cos y について、 Df(x, y) = (0, 0) となる点 (x, y) を求めよ。 f(x, y) はその点で極大であるか、極小であるか判定せよ。

問題３． R^{3} 内の曲面 z = x^{3} + xy 上の点 (x_{0}, y_{0}, z_{0}) における接平面の方程式を求めよ。この接平面が x 軸に平行になるような点 (x_{0}, y_{0}, z_{0}) はどのような曲線をなすか。この曲線の yz 平面への正射影がみたす方程式を求めよ。

問題４． (1) F : R^{3} ⟶ R^{2} を F (x, y, z) = (x^{3} − zx + y^{2}, z) で定義するとき、 F のヤコビ行列を求めよ。

(2) 上の F について、ヤコビ行列の階数 (rank) が１となる (x, y, z) はどのような曲線をなすか。また、この曲線を写像 F で写した像がみたす方程式を求めよ。

（この像に属さない点 (s, t) に対しては F (x, y, z) = (s, t) を満たす点 (x, y, z) は滑らかな曲線となる。）