数理科学�演習問題 ２００１年６月 担当教官: 坪井 俊

http://kyokan.ms.u-tokyo.ac.jp/users/tsuboi/suurikagaku3table2002.html

問題１． D を (t^{2}, t^{3} − t) (−1 ≦ t ≦ 1) で囲まれる領域とする。 D の面積を求めよ。

問題２． γ を楕円 (x_{0} + a cos t, y_{0} + b sin t) とする。 γ が原点を通らないとき、

∫_{γ}(x^{2} + y^{2} − 1)\frac{x d y − y d x}{x^{2} + y^{2}} を求めよ。

ヒント：原点では微分１形式が定義されていないことに注意する。

(x^{2} + y^{2} − 1)\frac{x d y − y d x}{x^{2} + y^{2}} = (x d y − y d x) − \frac{x d y − y d x}{x^{2} + y^{2}} と分けて考える。

問題３．平面から (1, 0), (−1, 0) の２点を除いたところで定義された次の微分１形式を考える。

\begin{matrix}α = & \frac{(x − 1) d y − y d x}{(x − 1)^{2} + y^{2}} − \frac{(x + 1) d y − y d x}{(x + 1)^{2} + y^{2}} \\ = & \frac{−4xy d x + 2(x^{2} − y^{2} − 1) d y}{(1 + x^{2} + y^{2})^{2} − 4x^{2}} \end{matrix}

円周 γ = {(x − x_{0})^{2} + (y − y_{0})^{2} = r^{2}} に反時計回りの向き付けを考える。円周が (1, 0), (−1, 0) の２点は通過しないものとするとき、 ∫_{γ} α を求めよ。

ヒント： α の積分は\frac{(x − 1) d y − y d x}{(x − 1)^{2} + y^{2}} の積分と\frac{(x + 1) d y − y d x}{(x + 1)^{2} + y^{2}} の差である。また、線積分

は円周を平行移動すれば微分形式\frac{x d y − y d x}{x^{2} + y^{2}} の線積分として計算される。

問題４．３次元空間から xy 平面上の円周 C = {(x, y, z) | x^{2} + y^{2} = 1, z = 0} を除いたところで定義された微分１形式

α = \frac{−2z d(x^{2} + y^{2}) + 2(x^{2} + y^{2} − z^{2} − 1) d z}{(1 + x^{2} + y^{2} + z^{2})^{2} − 4(x^{2} + y^{2})}

を考える。 (1) d α = 0 を示せ。

(2) xz 平面上の円周 γ = {(x, y, z) | (x − x_{0})^{2} + (z − z_{0})^{2} = r^{2}, y = 0} に適当な向きを与えて ∫_{γ} α を求めよ。ただし、円周は C と交わらないものとする。

ヒント：問題３を使う。以下には、次回説明する内容もあります。

問題５． a, b, c を正実数とし、 f(x, y, z) = \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} + \frac{z^{2}}{c^{2}} = 1 で与えられる曲面を S とする。 S には領域 K = {(x, y, z) | f(x, y, z) ≦ 1} の境界としての向きを定める。

積分 ∫_{S} x d y ∧ d z + y d z ∧ d x + z d x ∧ d y を計算せよ。

問題６．３次元ユークリッド空間内の原点以外のところで定義された次の微分２形式を考える。

ω = \frac{1 − r^{3}}{r^{3}} (x d y ∧ d z + y d z ∧ d x + z d x ∧ d y),

ただし、 r = \sqrt{x^{2} + y^{2} + z^{2}} とする。 S を (x_{0}, y_{0}, z_{0}) を中心とする半径 r_{0} の球面とし、 S には球体の境界としての向きを定める。積分 ∫_{S} ω を計算せよ。

問題７．空間上の微分２形式 ω = f(x, y, z) d y ∧d z +g(x, y, z) d z ∧d x+h(x, y, z) d x∧d y が d ω = 0 を満たすとする。

α = (∫_{0}^{1} (zg(tx, ty, tz) − yh(tx, ty, tz))t d t) d x
+(∫_{0}^{1} (xh(tx, ty, tz) − zf(tx, ty, tz))t d t) d y
+(∫_{0}^{1} (yf(tx, ty, tz) − xg(tx, ty, tz))t d t) d z

とおくと d α = ω となることを示せ。

問題８．３次元ユークリッド空間 R^{3} 上の次の微分 2 形式について、それらがある微分 1 形式の外微分になっているかどうかを判定せよ。

(1) α = x d y ∧ d z + y d z ∧ d x + z d x ∧ d y

(2) β = x d y ∧ d z + z d y ∧ d x