２００２年度幾何学特別演習 I 演習問題 ４月１０日

復習問題１． f : R^{m} ⟶ R^{n}, g : R^{ℓ} ⟶ R^{m} がともに連続微分可能な写像の時、 f ∘ g : R^{ℓ} ⟶ R^{n} も連続微分可能な写像であることを示し、 f, g, f ∘ g のヤコビ行列について D(f ∘ g)(x) = Df(g(x))Dg(x) を示せ。

復習問題２．２変数関数 f(x, y) についての陰関数定理、平面から平面への写像についての逆写像定理を述べよ。

復習問題３． a, b, c を ±1 とするとき、 ax^{2} + by^{2} + cz^{2} = 1 の概形を描け。

演習問題１．

(1) f : R^{2} ⟶ R を f(x, y) = x^{3} − x + y^{2} で定義するとき、 f のヤコビ行列を求めよ。

(2) (1) の f について、 z ∈ R の逆像 f^{−1}(z) の各成分が滑らかな曲線となるための z の条件を求めよ。

(3) F : R^{3} ⟶ R^{2} を F (x, y, z) = (x^{3} − zx + y^{2}, z) で定義するとき、 F のヤコビ行列を求めよ。

(4) (3) の F について、 (s, t) ∈ R^{2} の逆像 F^{−1}(s, t) の各成分が、滑らかな曲線となるための (s, t) の条件を求めよ。

演習問題２． R^{3} の次の部分集合が滑らかな曲面であるかどうか論ぜよ。

\begin{matrix}X = \{(x, y, z) ∈ R^{3} | \begin{matrix}z^{2} = −\{x^{2} + y^{2} − 1\}\{(x + 3)^{2} + y^{2} − 1\}· \\ \{(x − 3)^{2} + y^{2} − 1\}\{x^{2} + y^{2} − 25\} \end{matrix}\} \\ Y = \{(x, y, z) ∈ R^{3} | z^{2} = −\{(x + 1)^{2} + y^{2} − 1\}\{(x − 1)^{2} + y^{2} − 1\}\} \end{matrix}

演習問題３． 3 次元ユークリッド空間 R^{3} 内の点 P_{1}, ..., P_{k} と、それらのいくつかを結ぶ線分 S_{1} = \overline{P_{i_{1}}P_{j_{1}}}, ..., S_{m} = \overline{P_{i_{m}}P_{j_{m}}} が与えられているとする。これらの線分は端点以外では交わらないとする。 (すべて R^{3} の部分集合と考える。 ) それらの和集合 X が部分空間としての位相について 1 次元位相多様体となるための条件は何か。このとき、線分の個数と点の個数との間にはどのような関係があるか。