２００２年度幾何学特別演習 I 演習問題 ６月１２日

復習問題１． n 次元ユークリッド空間の部分集合 A が、測度０であることの定義を述べよ。

復習問題２． (1) 実数直線の部分集合としてのカントールの３進集合の構成を述べよ。 (2) このカントールの３進集合は測度０であることを示せ。

クイズ．平面上にある２つの多角形 P_{1}, P_{2} の面積が等しいとする。 P_{1} と P_{2} を有限個の線分で、同じ有限個数の多角形 P_{11}, … P_{1n} と P_{21}, … P_{2n} に分割して、（番号をうまくつけると） P_{1i} と P_{2i} が合同であるように出来ることを示せ。（３次元での同じクイズ（分解合同問題）は成立しない。）

復習問題３．（１）平面上の正規形の常微分方程式とは何か。（２）平面上の常微分方程式の解の存在と一意性の定理とは何か。

復習問題４．次の常微分方程式を解け。但し、初期値は (\begin{matrix}x_{0} \\ y_{0} \end{matrix}) とする。

(1) \frac{d}{dt} (\begin{matrix}x \\ y \end{matrix}) = (\begin{matrix}0 & −1 \\ 1 & 0 \end{matrix}) (\begin{matrix}x \\ y \end{matrix}) (2) \frac{d}{dt} (\begin{matrix}x \\ y \end{matrix}) = (\begin{matrix}0 & 1 \\ 1 & 0 \end{matrix}) (\begin{matrix}x \\ y \end{matrix})

演習問題１．コンパクト多様体上の C^{∞} 級関数 f_{1}, f_{2} が２階の微分まで近いことはどのように定義すればよいか。

演習問題２．コンパクト多様体上の C^{∞} 級関数 f がモース関数であるとき、２階の微分まで f に十分に近い C^{∞} 級関数 g は、モース関数であることを示せ。

演習問題３． f(x, y) = x^{3} − x − y^{2} とする。 f の等位線の概形を描け。

\frac{d}{dt} (\begin{matrix}x \\ y \end{matrix}) = (\frac{∂f}{∂x} ; \frac{∂f}{∂y} )

の解曲線は、どのような図形になるか。一般に、上の形の微分方程式の解 (x(t), y(t)) について、 f(x(t), y(t)) は非減少であることを示せ。