２００２年度幾何学特別演習 I 演習問題 ７月３日

復習問題１． M, N をコンパクト多様体とする。 C^{∞} 級写像 f : M ⟶ N について, M 上のベクトル場 ξ, N 上のベクトル場 η が、すべての x ∈ M に対し、 (T_{x}f)ξ(x) = η(f(x)) を満たすとする。（ f_{∗}ξ = η とも書かれ、 M 上のベクトル場 ξ が、 N 上のベクトル場 η に射影されるという。） ξ が生成するフローを φ_{t} : M ⟶ M, η が生成するフローを ψ_{t} : N ⟶ N とするとき次を示せ。

f(φ_{t}(x)) = ψ_{t}(f(x))

復習問題２． m 次元コンパクト多様体 M 上のフロー φ_{t}(x) が、ベクトル場 ξ で生成されているとする。 M の m−1 次元コンパクト部分多様体 N に対し、 x ∈ N に対して、 ξ(x) ∉ T_{x}N とする。このとき、正実数 ε で、写像 (−ε, ε)×N ∋ (t, x) ⟼ φ_{t}(x) ∈ M が M の開集合への埋め込みとなるようなものが存在することを示せ。

復習問題３． n 次元コンパクト多様体上には、リーマン計量が存在することを示せ。ヒント：正値対称行列の全体は凸である。座標近傍による有限被覆とそれに従属した１の分割を使う。

復習問題４． F をコンパクト多様体 M の微分同相写像からなる有限群とする。 M 上のリーマン計量 g で F の任意の元 f について f^{∗}g = g を満たすものがあることを示せ。ヒント：１つのリーマン計量を取り、有限群の作用で移りあう点でのリーマン計量を平均する。

演習問題１． M をユークリッド空間 R^{N} に埋め込まれたコンパクト多様体とする.

(1) 次で定義される X は C^{∞} 多様体であることを示せ.

X = {(x, y) ∈ R^{2N}|x ∈ M, y は T_{x}M に直交する}

(2) (x, y) ⟼ x + y で定義される写像 e : X ⟶ R^{N} は X ∩ (R^{N} × {0}) の近傍では微分同相写像になっていることを示せ.

演習問題２．コンパクトリーマン多様体 M について、 X ∈ T_{x}M に対し、 γ_{X}(t) を\frac{dγ}{dt} = X となる測地線とする。

(1) E : T_{x}M ⟶ M を E(X) = γ_{X}(1) で定義すると、 E は T_{x}M の 0 の近傍から、 M の x の近傍への微分同相写像となることを示せ。

(2) 写像 F : T M ⟶ M × M を X ∈ T_{x}M ⊂ T M に対し、 F (X) = (x, E(X)) で定義する。 F は T M の zero section の近傍から M × M の Δ = {(x, x) | x ∈ M} ⊂ M × M の近傍への微分同相写像となることを示せ。演習問題３． (1) コンパクトリーマン多様体 M 上の関数 f について、任意の接ベクトル X に対し、 ⟨gradf, X⟩ = Xf となるベクトル場 gradf を考える。ベクトル場 ξ = \frac{1}{⟨gradf, gradf⟩}gradf の生成するフロー φ_{t} が定義されている点で、 f(φ_{t}(x)) = f(x) + t となることを示せ。ヒント： f : M ⟶ R について、 f_{∗}ξ = \frac{∂}{∂t} を示すと、復習問題１が使える。

(2) M 上のモース関数 f の２つの正則値 t_{0}, t_{1} (t_{0} < t_{1}) の間に臨界値が存在しないと仮定する。 f^{−1}([t_{0}, t_{1}]) は [t_{0}, t_{1}] × f^{−1}(t_{0}) と微分同相であることを示せ。（境界のある多様体の微分同相とはこの場合、 ε に対し、 f^{−1}((t_{0} − ε, t_{1} + ε)) は (t_{0} − ε, t_{1} + ε) × f^{−1}(t_{0}) と微分同相であり、その制限になっているということ。）

演習問題４． m 次元コンパクト連結多様体 M から円周 S^{1} への写像 F : M ⟶ S^{1} が、任意の点 x に対し、 rankT_{x}F = 1 を満たすとする。

(1) M 上のベクトル場 ξ で、 F_{∗}ξ = \frac{∂}{∂t} を満たすものが存在することを示せ。ヒント： M の各点に F を第１座標 x_{1} とするような座標近傍が存在する。 M のこのような座標近傍 U_{i} による有限被覆とそれに従属する 1 の分割 μ_{i} をとる。 ξ = ∑_{i} μ_{i} \frac{∂}{∂x_{1}}

が求めるもの。

(2) t_{1}, t_{2} ∈ S^{1} に対し、 F^{−1}(t_{1}) と F^{−1}(t_{2}) は微分同相な m − 1 次元多様体であることを示せ。

演習問題５． CP^{n} = (C^{n+1} − {0})/C^{×} とする。

(1) 結合写像 p ∘ i

S^{2n+1} \underrightarrow{i} C^{n+1} − \{0\} \underrightarrow{p} CP^{n}

の rank を求めよ.

(2) CP^{n} の相異なる２点 y_{1}, y_{2} に対し、 S^{2n+1} の微分同相写像 F で、 F ((p∘i)^{−1}(y_{1})) = (p ∘ i)^{−1}(y_{2}) とするものがあることを示せ。