２００２年度幾何学特別演習 I 演習問題 ４月２４日

復習問題１． f(x, y) = cos x · cos y について、 Df(x, y) = (0, 0) となる点 (x, y) を求めよ。 f(x, y) はその点で極大であるか、極小であるか判定せよ。

復習問題２． f : R^{m} ⟶ R^{n}, g : R^{ℓ} ⟶ R^{m} を C^{∞} 級の写像とするとき、 f ∘ g : R^{ℓ} ⟶ R^{n} は C^{∞} 級の写像であることを示せ。ヒント： C^{r} 級の写像の和、積は C^{r} 級。 f が C^{r} 級写像ならば、 Df は C^{r−1} 級。チェインルールを使う。

演習問題１． S^{2} = {(x_{1}, x_{2}, x_{3}) ∈ R^{3}|x_{1}^{2} + x_{2}^{2} + x_{3}^{2} = 1} 上の関数 f を

f(x_{1}, x_{2}, x_{3}) = x_{1}^{2} + 2x_{2}^{2} + 3x_{3}^{2}

で定める。 f(x_{1}, x_{2}, x_{3}) はどのような値をとるか。実数 y に対し f^{−1}(y) はどのような図形であるかを論ぜよ。

演習問題２． R^{3} 内の曲面 z = x^{3} + xy 上の点 (x_{0}, y_{0}, z_{0}) における接平面の方程式を求めよ。この接平面が x 軸に平行になるような点 (x_{0}, y_{0}, z_{0}) はどのような図形をなすか。その図形の xy 平面への正射影、 xz 平面への正射影、 yz 平面への正射影のみたす方程式を求めよ。