２００２年度幾何学特別演習 I 演習問題 ５月８日

復習問題１．ユークリッド空間上の C^{∞} 級関数 f(x_{1}, …, x_{n}) に対し、次を満たす C^{∞} 級関数 g_{1}(x_{1}, …, x_{n}), …, g_{n}(x_{1}, …, x_{n}) が存在することを示せ。

f(x_{1}, …, x_{n}) = f(0, …, 0) + x_{1}g_{1}(x_{1}, …, x_{n}) + ⋯ + x_{n}g_{n}(x_{1}, …, x_{n})

このとき、\frac{∂f}{∂x_{k}} (0, …, 0) = g_{k}(0, …, 0) となる。

ヒント： f(x_{1}, …, x_{n}) − f(0, …, 0) = ∫_{0}^{1} \frac{df(tx_{1}, …, tx_{n})}{dt}dt

復習問題２．３次元ユークリッド空間上の C^{∞} 級関数 F (x, y, z) により、 F (x, y, z) = c によって定義される曲面（等位面） S_{c} が与えられているとする。空間曲線 (ξ(t), η(t), ζ(t)) の接ベクトルが、すべての t に対し、 F (x, y, z) の等位面の (ξ(t), η(t), ζ(t)) における接平面に含まれることと、空間曲線が一つの等位面 S_{c} に含まれることは同値であることを示せ。

復習問題３．球面 S^{2} は次で定義される。

S^{2} = {(x, y, z) ∈ R^{3} | x^{2} + y^{2} + z^{2} = 1}

(1) x-y 平面、 y-z 平面、 x-z 平面への直交射影を使って座標近傍系を定義し、 S^{2} は多様体であることを示せ。

(2) 平面 {x = ±1}、平面 {y = ±1}、平面 {z = ±1} への radial projection を使って座標近傍系を定義し、 S^{2} は多様体であることを示せ。ただし、 radial projection は S^{2} 上の点 x に、原点から x へ向かう半直線と平面との交点を対応させる写像である。

(3) (0, 0, 1) からの stereographic projection p_{+} および (0, 0, −1) からの stereographic projection p_{−} により、座標近傍系を定義し、 S^{2} は多様体であることを示せ。ただし、 p_{+} : S^{2} − {(0, 0, 1)} ⟶ R^{2} は (0, 0, 1), x, (p_{+}(x), 0) が同一直線上にあることにより定義される。 (*) (暇な時に考える問題) stereographic projection は S^{2} 上の円を R^{2} の円または直線に写すことを示せ。演習問題１．

(1) RP^{n} = (R^{n+1} − {0})/R^{×} はハウスドルフ空間であることを示せ。

(2) RP^{n} は C^{∞} 多様体であることを示せ。

(3) 結合写像

S^{n} ⟶ R^{n+1} − {0} ⟶ RP^{n}

の rank を求めよ。

演習問題２． n 次元微分可能多様体 X の p における方向微分とは多様体 X 上の滑らかな関数のなす実ベクトル空間 C^{∞}(X) 上の線形形式 D で、

D(f · g) = Df · g(p) + f(p) · Dg

を満たすものである。

(1) p における方向微分の全体 D_{p} は実ベクトル空間をなすことを示せ。

(2) X 上の曲線 c(t) で c(0) = p となるものに対して、 C^{∞}(X) ∋ f ⟼ D_{c}(f) = \frac{d(f ∘ c)}{dt}(0) とおくと、 D_{c} は p における方向微分であることを示せ。

(3) p における局所座標 (x_{1}, …, x_{n}) に対し、曲線 t ⟼ (0, …, 0, t, 0, …, 0) (k 番目の座標) に対する方向微分を\frac{∂}{∂x_{k}} と書くとき、 \{\frac{∂}{∂x_{1}} , …, \frac{∂}{∂x_{n}} \} が D_{p} の基底となることを示せ。ヒント：定数 1 に対して、 D(1) = D(1)+D(1) だから D(1) = 0. また、 p の近傍で 0 となる関数 f について、その近傍上でのみ 0 でない関数 g をとると Df = D(f · g) = Df · g(p) + f(p) · Dg = Df · g(p) だから Df = 0 がわかる。従って、 Df は f の p の近傍での値のみにより定まっている。また、 p の近傍 U で定義された任意の関数 f に対し、 p の近傍 V (⊂ U) 上で、 f に一致する X 上の C^{∞} 級関数があることは使っ

てよいことにする。復習問題１を使い、 D(x_{k}) の値により、 D = ∑_{k=1}^{n} D(x_{k})\frac{∂}{∂x_{k}} を

導く。