２００２年度幾何学特別演習 I 演習問題 ５月２２日

復習問題１． (1) n ≧ 0 を整数とするとき、 lim_{x↘0} \frac{1}{x^{n}} e^{− \frac{1}{x}} = 0 を示せ。

(y > 0 のとき、 e^{y} > \frac{y^{n}}{n!} を使っても良い。 )

(2) 連続関数 f : [0, ∞) ⟶ R が、 (0, ∞) で微分可能かつ導関数 f′(x) が (0, ∞) で連続とする。 lim_{x↘0} f′(x) が存在するならば、 lim_{x↘0} \frac{f(x) − f(0)}{x} は存在し、 lim_{x↘0} f′(x) に等しいことを示せ。（平均値の定理）

(3) 関数 ρ : R ⟶ R を ρ(x) = \begin{cases}e^{− \frac{1}{x}} & (x > 0) \\ 0 & (x ≦ 0) \end{cases} で定義すると、 ρ は C^{∞} 級であることを示せ。（ρ の m 回微分した式の形が (1) の形の式の１次結合となることを示す。）

復習問題２． X^{m}, Y^{n} をそれぞれ m 次元、 n 次元 C^{∞} 級多様体とするとき、直積空間 X × Y は m + n 次元 C^{∞} 級多様体となることを示せ。

クイズ．長さ 2π の単位円周 S^{1} の回転 2πα 回転 R_{α} は、長さ ε の円弧を長さ ε の円弧に写す。 S^{1} の点 p に R_{α} または R_{α}^{−1} を何度も施して得られる点の集合 X = {R_{α}^{n}(p) | n ∈ Z} を考える。 α が無理数の時、 X は S^{1} で稠密であることを示せ。ヒント： S^{1} − \overline{X} は開区間の集まりだから、その開区間のなかで長さが最大のもの J をとり、それが長さ ε であるとする。 R_{α}^{n}(J) ⊂ S^{1} − \overline{X} である。 ε > 2π/m となる整実数 m に対し、 {R_{α}^{n}(J)}_{n=1,...,m} は disjoint ではない。

演習問題１．複素射影曲線 CP^{1} = (C^{2} − {0})/C^{×} と、（２次元）球面 S^{2} = {(x_{1}, x_{2}, x_{3}) ∈ R^{3} | x_{1}^{2} + x_{2}^{2} + x_{3}^{2} = 1} は微分同相であることを示せ。

演習問題２． R^{2} − {0} 上に同値関係 ∼ を次のように定める。

(x_{1}, y_{1}) ∼ (x_{2}, y_{2}) ⟺ ∃n ∈ Z, (2^{n}x_{1}, 2^{n}y_{1}) = (x_{2}, y_{2})

(1) R^{2} − {0}/ ∼ がハウスドルフ空間であることを示せ。

(2) R^{2} − {0}/ ∼ は 2 次元多様体であることを示せ。

(3) R^{2} − {0}/ ∼ は T^{2} = S^{1} × S^{1} と微分同相であることを示せ。