２００２年度幾何学特別演習 I 演習問題 ５月２９日

復習問題１． (1) f : X ⟶ Y を位相空間 X からハウスドルフ位相空間 Y への連続な単射とする。 X はハウスドルフ空間であることを示せ。

(2) f : X ⟶ Y をコンパクト位相空間 X からハウスドルフ位相空間 Y への連続な全単射とする。 f の逆写像が連続で、 X と Y は同相写像となることを示せ。

復習問題２．正則部分多様体の定義を述べよ。

復習問題３． SO(3) = {A ∈ M(3; R) |^{t}AA = I, det A = 1} は多様体であることをしめせ.

演習問題１． R^{2} 上の次で定義される同値関係を考える。

(x_{1}, y_{1}) ∼ (x_{2}, y_{2}) ⟺ ∃(m, n) ∈ Z^{2}, (x_{1} + m, y_{1} + n) = (x_{2}, y_{2})

この同値関係による商空間を R^{2}/Z^{2} と書く。

(1) R^{2}/Z^{2} はハウスドルフ空間であることを示せ。

(2) R^{2}/Z^{2} は２次元多様体であることを示せ。

(3) A を２行２列の整係数行列とするとき、線形写像 A : R^{2} ⟶ R^{2} は微分可能な写像 F_{A} : R^{2}/Z^{2} ⟶ R^{2}/Z^{2} を定義することを示せ。

(4) rankF_{A} を求めよ。

演習問題２． C^{∞} 級多様体 X の部分多様体 Y, Z が横断的に交わるとは, すべての x ∈ Y ∩ Z について T_{x}Y + T_{x}Z = T_{x}X が成立することである. X のコンパクト部分多様体 Y, Z が横断的に交わるとき, Y ∩ Z も X のコンパクト部分多様体になることを示せ.