２００２年度幾何学特別演習 I 演習問題 ６月５日

復習問題１． (1) f : X ⟶ R をコンパクト位相空間 X 上の連続関数とする。次を満たす X の２点 x_{0}, x_{1} が存在することを示せ。 “すべての x ∈ X に対し、 f(x_{0}) ≦ f(x) ≦ f(x_{1}) が成立する。 ”

(2) n を正の整数とする。 f : M ⟶ R を n 次元コンパクト C^{∞} 級多様体上の C^{∞} 級関数とする。 T_{x}f = 0 を満たす M の点 x が少なくとも２点存在することを示せ。

復習問題２． n を正の整数とする。 f : M ⟶ R を n 次元 C^{∞} 級多様体上の C^{∞} 級関数とする。 f の臨界点、 f の臨界値、 f の正則値の定義を述べよ。 f の臨界点におけるヘッシアンの定義を述べよ。

復習問題３．ベクトル空間上の対称双線形形式あるいは２次形式の定義を述べよ。対称双線形形式あるいは２次形式の符号の定義を述べよ。

演習問題１． (a, b, c) ∈ R^{3} は (0, 0, 0) でないとする。 R^{2} 上の関数

f(x, y) = (2 + cos y)(a cos x + b sin x) + c sin y

は、 R^{2}/(2πZ)^{2} 上の関数 F : R^{2}/(2πZ)^{2} ⟶ R を定義する。 F の臨界点の個数が有限個であるための条件を述べよ。臨界点におけるヘッシアンが退化するかどうか調べよ。

演習問題２． (1) f(x_{1}, ..., x_{n+1}) = ∑_{k=1}^{n+1} k|x_{k}|^{2}/∑_{k=1}^{n+1} |x_{k}|^{2} で定義される関数

f : C^{n+1} − {0} ⟶ R は CP^{n} = (C^{n+1} − {0})/C^{×} 上の C^{∞} 級関数 F : CP^{n} ⟶ R を誘導することを示せ.

(2) F の臨界点を求めよ.

(3) F の臨界点におけるヘッシアンの符号を求めよ.