２００２年度幾何学 I 試験問題

２００２年９月１７日１３：３０−１６：３０

問題１． 3 次元ユークリッド空間 R^{3} 上の実数値関数 f : R^{3} ⟶ R を

f(x, y, z) = x^{3} − 3x + y^{2} + z^{2}

で定義する。 w ∈ R に対し、 f^{−1}(w) は部分多様体となるかどうか論ぜよ。

問題２． 3 次元ユークリッド空間 R^{3} 上の同値関係 ∼ が

(x, y, z) ∼ −(x, y, z)

で生成されているとする。

(1) R^{3} − {0}/ ∼ は３次元微分可能多様体となることをしめせ。

(2) R^{3}/ ∼ は３次元微分可能多様体となりうるかどうか論ぜよ。

問題３．次の２つの条件を満たす空集合でない位相空間の例をひとつ上げよ。

(i) ハウスドルフ空間でない。

(ii) 各点の近傍として２次元ユークリッド空間と同相なものが存在する。

問題４． (1) n 次元ユークリッド空間 R^{n} の p 次元コンパクト部分多様体 X^{p} と q 次元コンパクト部分多様体 Y^{q} が横断的に交わることの定義を述べよ。

(2) コンパクト部分多様体 X^{p}, Y^{q} が横断的に交わるとき、 X^{p} ∩ Y^{q} もコンパクト部分多様体となることを示せ。

問題５． n を正整数とする。 n 次元コンパクト多様体 M の各点 x に対し、 M 上のべクトル場 ξ で、次の条件をみたすものが存在することを示せ。

ξ が生成するフロー φ_{t} : M ⟶ M について、 φ_{t}(x) = x ⟹ t = 0.