２００３年度幾何学特別演習 I 演習問題 ４月１６日

復習問題１．関数 f : R^{3} ⟶ R, 写像 F : R^{3} ⟶ R^{2} に対しての陰関数定理を述べよ。

復習問題２．写像 f : R^{m} ⟶ R^{n} が C^{r} 級であることの定義を述べよ。

演習問題１． f : R^{m} ⟶ R^{n}, g : R^{ℓ} ⟶ R^{m} を C^{∞} 級の写像とするとき、 f ∘ g : R^{ℓ} ⟶ R^{n} は C^{∞} 級の写像であることを示せ。ヒント： C^{r−1} 級の写像の和、積は C^{r−1} 級。 f が C^{r} 級写像ならば、 Df は C^{r−1} 級。チェインルールを使う。

演習問題２． R^{3} の次の部分集合が滑らかな曲面であるかどうか論ぜよ。

C = {(x, y, z) ∈ R^{3} | x^{2} + y^{2} = z^{2}}

X = \{(x, y, z) ∈ R^{3} | \begin{matrix}z^{2} = −\{x^{2} + y^{2} − 1\}\{(x + 3)^{2} + y^{2} − 1\}· \\ \{(x − 3)^{2} + y^{2} − 1\}\{x^{2} + y^{2} − 25\} \end{matrix}\}

Y = {(x, y, z) ∈ R^{3} | z^{2} = −{(x + 1)^{2} + y^{2} − 1}{(x − 1)^{2} + y^{2} − 1}}