２００３年度幾何学特別演習 I 演習問題 ４月２３日

復習問題１． f(x, y) = cos x · cos y について、 Df = (\frac{∂f}{∂x} , \frac{∂f}{∂y} ) = (0, 0) となる点 (x, y) を求めよ。 f(x, y) はその点で極大であるか、極小であるか判定せよ。

復習問題２．

(1) 位相空間がコンパクトであることの定義を述べよ。

(2) 位相空間がハウスドルフ空間であることの定義を述べよ。

(3) 位相空間が連結であることの定義を述べよ。

(4) ユークリッド空間の部分集合が開集合であることの定義を述べよ。

演習問題１． S^{2} = {(x_{1}, x_{2}, x_{3}) ∈ R^{3}|x_{1}^{2} + x_{2}^{2} + x_{3}^{2} = 1} 上の関数 f を

f(x_{1}, x_{2}, x_{3}) = x_{1}^{2} + 2x_{2}^{2} + 3x_{3}^{2}

で定める。 f(x_{1}, x_{2}, x_{3}) はどのような値をとるか。実数 y に対し f^{−1}(y) はどのような図形であるかを論ぜよ。

演習問題２． R^{3} 内の曲面 z = x^{3} + xy 上の点 (x_{0}, y_{0}, z_{0}) における接平面の方程式を求めよ。この接平面が x 軸に平行になるような点 (x_{0}, y_{0}, z_{0}) はどのような図形をなすか。その図形の xy 平面への正射影、 xz 平面への正射影、 yz 平面への正射影のみたす方程式を求めよ。