２００２年度幾何学特別演習 I 演習問題 ５月７日

復習問題１．コンパクト空間 X からハウスドルフ空間 Y への連続な全単射 h は同相写像であることを示せ。

復習問題２．３次元ユークリッド空間上の C^{∞} 級関数 F (x, y, z) により、 F (x, y, z) = c によって定義される曲面（等位面） S_{c} が与えられているとする。（DF ≠ 0 が S_{c} 上で成立しているとする。）空間曲線 (a, b) ∋ t ⟼ (ξ(t), η(t), ζ(t)) の接ベクトルが、すべての t に対し、 F (x, y, z) の等位面の (ξ(t), η(t), ζ(t)) における接平面に含まれることと、空間曲線が一つの等位面 S_{c} に含まれることは同値であることを示せ。

演習問題１．

(1) RP^{n} = (R^{n+1} − {0})/R^{×} はハウスドルフ空間であることを示せ。（ヒント： x ∈ R^{n+1} − \{0\} に対し、 f_{x} : y ⟼ \frac{|x • y|}{∥x∥ ∥y∥} を考え、２点は関数で分離できることを示す。但し x • y は内積を表す。シュワルツの不等式に注意する。）

(2) RP^{n} は n 次元 C^{∞} 級多様体であることを示せ。

演習問題２．

(1) CP^{n} = (C^{n+1} − {0})/C^{×} はハウスドルフ空間であることを示せ。（ヒント： x ∈ C^{n+1} − \{0\} に対し、 f_{x} : y ⟼ \frac{|x • y|}{∥x∥ ∥y∥} を考え、２点は関数で分離できることを示す。但し x • y はエルミート内積を表す。シュワルツの不等式に注意する。）

(2) CP^{n} は 2n 次元 C^{∞} 多様体であることを示せ。

演習問題３．一般に位相空間 X の同相写像の有限集合 F = {f_{i} | i ∈ I} が、写像の結合、逆写像をとる操作について、閉じているときに F を位相空間 X の有限変換群という。位相空間 X の有限変換群 F = {f_{i} | i ∈ I} に対し、 X 上の同値関係を、

x ∼ y ⟺ F のある元 f_{i} に対し、 f_{i}(x) = y

となることと定義する。この同値類の集合を X/F と書く。ハウスドルフ位相空間 X の有限変換群 F について X/F がハウスドルフ空間となることを示せ．