２００３年度幾何学特別演習 I 演習問題 ５月１４日

復習問題 １． (1) n ≧ 0 を整数とするとき、 lim_{x↘0} \frac{1}{x^{n}} e^{− \frac{1}{x}} = 0 を示せ。

(y > 0 のとき、 e^{y} > \frac{y^{n}}{n!} を使っても良い。 )

(2) 連続関数 f : [0, ∞) ⟶ R が、 (0, ∞) で微分可能かつ導関数 f′(x) が (0, ∞) で連続とする。 lim_{x↘0} f′(x) が存在するならば、 lim_{x↘0} \frac{f(x) − f(0)}{x} は存在し、 lim_{x↘0} f′(x) に等しいことを示せ。（平均値の定理）復習問題 ２． (1) 関数 ρ : R ⟶ R を ρ(x) = \begin{cases}e^{− \frac{1}{x}} & (x > 0) \\ 0 & (x ≦ 0) \end{cases} で定義すると、 ρ は C^{∞} 級であることを示せ。（ρ の m 回微分した式の形が (1) の形の式の１次結合となることを示す。）

(2) C^{∞} 級の単射 f : R ⟶ R^{2} で、 f(R_{>0}) = R_{>0} × {0}, f(R_{<0}) = {0} × R_{<0} を満たすものを構成せよ。（同じように R^{n} の連結な折れ線は R からの C^{∞} 級写像の像となる。）

演習問題． n 次元 C^{∞} 級多様体 M の座標近傍系 {(U_{i}, φ_{i})}_{i∈I} について、座標変換 g_{ij} : φ_{j}(U_{i} ∩ U_{j}) ⟶ φ_{i}(U_{i} ∩ U_{j}) は g_{ij} = φ_{i} ∘ (φ_{j}|U_{i} ∩ U_{j})^{−1} で定義される。

(1) φ_{k}(U_{i} ∩ U_{j} ∩ U_{k}) 上で、 g_{ij} ∘ g_{jk} = g_{ik} を満たすことを示せ。 V_{i} = φ_{i}(U_{i}) ⊂ R^{n} と置く。 g_{ii} は V_{i} の恒等写像 id_{V_{i}} とする。また V_{ij} = φ_{j}(U_{i}∩U_{j}) ⊂ V_{j}, V_{ji} = φ_{i}(U_{i} ∩ U_{j}) ⊂ V_{i} とおくと、 g_{ij} : V_{ij} ⟶ V_{ji} は R^{n} の開集合の間の微分同相写像である。 (1) の関係式は、 V_{ik} ∩ V_{jk} \underrightarrow{g_{jk}} V_{ij} ∩ V_{kj} \underrightarrow{g_{ij}} V_{ji} ∩ V_{ki} の結合が V_{ik} ∩ V_{jk} \underrightarrow{g_{ik}} V_{ji} ∩ V_{ki} に等しいというものである。さらに V_{ii} = V_{i} と置くと、 i, j, k のうちの２つが等しい場合にも成立している。

(2) 一般に V_{i} を R^{n} の開集合とする。 {V_{i}}_{i∈I} の disjoint union ⨆_{i∈I} V_{i} の定義を述べよ。 V_{i} ⊂ R^{n}, V_{ji} ⊂ V_{i} = V_{ii} を開集合、 g_{ij} : V_{ij} ⟶ V_{ji} を C^{∞} 級写像で、 g_{ii} = id_{V_{i}}, g_{jk}(V_{ik} ∩ V_{jk}) = V_{ij} ∩ V_{kj} かつ V_{ik} ∩ V_{jk} 上で、 g_{ij} ∘ g_{jk} = g_{ik} を満たすとする。

(3) ⨆_{i∈I} V_{i} 上の、次の関係 ∼ は同値関係であることを示せ。 x_{i} ∈ V_{i}, x_{j} ∈ V_{j} に対し、 x_{i} ∼ x_{j} ⟺ x_{j} ∈ V_{ij} ⊂ V_{j} かつ x_{i} = g_{ij}(x_{j})

(4) X = (⨆_{i∈I} V_{i})/ ∼ を商空間とする。 X がハウスドルフ空間であると仮定すると、 X は n 次元 C^{∞} 級多様体となることを示せ。

(5) n 次元 C^{∞} 級多様体 M の座標近傍系 {(U_{i}, φ_{i})}_{i∈I} から最初に定義した V_{i}, V_{ij} について、上で構成した X は M と微分同相であることを示せ。