２００３年度幾何学特別演習 I 演習問題 ５月２１日

復習問題１． X, Y を実ベクトル空間とする。

(1) 実ベクトル空間の次元の定義を述べよ。

(2) 線形写像 X ⟶ Y の階数 (rank) の定義を述べよ。

復習問題２．ユークリッド空間上の C^{∞} 級関数 f(x_{1}, …, x_{n}) に対し、次を満たす C^{∞} 級関数 g_{1}(x_{1}, …, x_{n}), …, g_{n}(x_{1}, …, x_{n}) が存在することを示せ。

f(x_{1}, …, x_{n}) = f(0, …, 0) + x_{1}g_{1}(x_{1}, …, x_{n}) + ⋯ + x_{n}g_{n}(x_{1}, …, x_{n})

このとき、\frac{∂f}{∂x_{k}} (0, …, 0) = g_{k}(0, …, 0) となる。

ヒント： f(x_{1}, …, x_{n}) − f(0, …, 0) = ∫_{0}^{1} \frac{df(tx_{1}, …, tx_{n})}{dt}dt

演習問題１．位相空間 E, B の間に連続写像 p : E ⟶ B があって、次の条件を満たすとする。ある位相空間 F があって、 B の各点 b に対し、 b の開近傍 U_{b} を選べば、同相写像 h : p^{−1}(U_{b}) ⟶ U_{b} × F で、 pr_{1} ∘ h = p を満たすものが存在する。ここで pr_{1} は第１成分への射影 U_{b} × F ⟶ U_{b} である。 B, F がハウスドルフ空間であると仮定すると、 E もハウスドルフ空間となることを示せ。

演習問題２． (1) GL(n; R) は、 n^{2} 次元 C^{∞} 級多様体であることを示せ。 SL(n; R) は、 GL(n; R) の n^{2} − 1 次元 C^{∞} 級部分多様体であることを示せ。ヒント：陰関数定理。 det の微分が det = 1 の点で 0 でないことを、行列式の行あるいは列による展開を用いて示す。

(2) 行列の積 GL(n; R)×GL(n; R) ⟶ GL(n; R), 逆行列をとる操作 GL(n; R) ⟶ GL(n; R) は、 C^{∞} 級の写像であることを確認し、 SL(n; R) に対しても、それぞれの操作が C^{∞} 級であることを示せ。

演習問題３．複素射影曲線 CP^{1} = (C^{2} − {0})/C^{×} と、（２次元）球面 S^{2} = {(x_{1}, x_{2}, x_{3}) ∈ R^{3} | x_{1}^{2} + x_{2}^{2} + x_{3}^{2} = 1} は微分同相であることを示せ。ヒント： S^{2} について、 (0, 0, 1) からの stereographic projection p_{+} および (0, 0, −1) からの stereographic projection p_{−} により、座標近傍系を定義する。ただし、 p_{±} : S^{2} − {(0, 0, ±1)} ⟶ R^{2} = R^{2} × {0} は (0, 0, ±1), x, (p_{±}(x), 0) が同一直線上にあることにより定義される。 (*) (暇な時に考える問題) stereographic projection は S^{2} 上の円を R^{2} の円または直線に写すことを示せ。