２００３年度幾何学特別演習 I 演習問題 ５月２８日

復習問題１．コンパクトハウスドルフ空間 X は正規空間であることを示せ。すなわち、 A_{1}, A_{2} を X の閉集合、 A_{1} ∩ A_{2} = ∅ とするとき、開集合 U_{1}, U_{2} で、 A_{1} ⊂ U_{1}, A_{2} ⊂ U_{2}, U_{1} ∩ U_{2} = ∅ となるものが存在することを示せ。

復習問題２．コンパクトハウスドルフ空間 X の開被覆 {U_{i}} に対し、 X の開被覆 \{V_{i}\} で、\overline{V}_{i} ⊂ U_{i} となるものが存在することを示せ。

演習問題１． SO(3) = {A ∈ M(3; R) |^{t}AA = I, det A = 1} は多様体であることをしめせ.

演習問題２． G は群であり、 n 次元 C^{∞} 級多様体でもあるとする。群の演算 G×G ⟶ G が C^{∞} 級写像であると仮定する。 (1). G ∋ h ⟼ gh ∈ G を L_{g} と書くと、 L_{g} は C^{∞} 級微分同相であることを示せ。 (2). 群の演算 G × G ⟶ G の接写像 T_{(g,h)}(G × G) ⟶ T_{gh}G のランクを求めよ。

ヒント： c_{g} を g に値をとる定値写像とし、 G ⟶^{(c_{g},L_{h})} g × G ⊂ G × G ⟶^{ 演算 }

G ⟶^{L_{(gh)^{−1}}} G の接写像のランクを考える。 (3). 群の逆元をとる演算 G ⟶ G は C^{∞} 級であることを示せ。

演習問題３． n 次元 C^{∞} 級多様体 M の p における方向微分とは多様体 M 上の滑らかな関数のなす実ベクトル空間 C^{∞}(M) 上の線形形式 D で、

D(f · g) = Df · g(p) + f(p) · Dg

を満たすものである。 (1). p における方向微分の全体 D_{p} は実ベクトル空間をなすことを示せ。 (2). M 上の曲線 c(t) で c(0) = p となるものに対して、 C^{∞}(M) ∋ f ⟼ D_{c}(f) = \frac{d(f ∘ c)}{dt}(0) とおくと、 D_{c} は p における方向微分であることを示せ。 (3). p のまわりの座標近傍 (U, φ) = (U, (x_{1}, …, x_{n})) に対し、曲線 t ⟼ φ^{−1}(0, …, 0, t, 0, …, 0) (k 番目の座標) に対する方向微分を\frac{∂}{∂x_{k}} と書くとき、

\{\frac{∂}{∂x_{1}} , …, \frac{∂}{∂x_{n}} \} が D_{p} の基底となることを示せ。

ヒント：定数 1 に対して、 D(1) = D(1) + D(1) だから D(1) = 0. また、 p の近傍で 0 となる関数 f について、その近傍上でのみ 0 でない関数 g をとると Df = D(f · g) = Df · g(p) + f(p) · Dg = Df · g(p) だから Df = 0 がわかる。従って、 Df は f の p の近傍での値のみにより定まっている。また、 p の近傍 U で定義された任意の関数 f に対し、 p の近傍 V (⊂ U) 上で、 f に一致する M 上の C^{∞} 級関数があることは使ってよいことにする。５月２１日復習問題２を使い、 D(x_{k}) の値により、 D = ∑_{k=1}^{n} D(x_{k}) \frac{∂}{∂x_{k}} を導く。