２００３年度幾何学特別演習 I 演習問題 ６月４日

復習問題１． n 次元ユークリッド空間の部分集合 A が、測度０であることの定義を述べよ。

復習問題２． (1) 実数直線の部分集合としてのカントールの３進集合の構成を述べよ。 (2) このカントールの３進集合は測度０であることを示せ。

暇な時に考えること： (*) 実数直線の部分集合でカントールの３進集合と同相なもので測度０でないものはあるか。

クイズ．長さ 2π の単位円周 S^{1} の回転 2πα 回転 R_{α} は、長さ ε の円弧を長さ ε の円弧に写す。 S^{1} の点 p に R_{α} または R_{α}^{−1} を何度も施して得られる点の集合 X = {R_{α}^{n}(p) | n ∈ Z} を考える。 α が無理数の時、 X は S^{1} で稠密であることを示せ。

ヒント： S^{1} ≠ X とすると、 S^{1} − \overline{X} は開区間の集まりだから、その開区間のなかで長さが最大のもの J をとり、それが長さ ε であるとする。 R_{α}^{n}(J) ⊂ S^{1} − \overline{X} である。 ε > 2π/m となる整実数 m に対し、 {R_{α}^{n}(J)}_{n=1,...,m} は disjoint ではない。 R_{α}^{i}(J) ∩ R_{α}^{j}(J) ≠ ∅ だが、一方の区間の端点が他の区間の内点になることはない。このとき R_{α}^{i} = R_{α}^{j} となってしまう。

演習問題１． n を正の整数とする。 f : M ⟶ R を n 次元コンパクト C^{∞} 級多様体上の C^{∞} 級関数とする。 f_{∗} : T_{x}M ⟶ R について f_{∗} = 0 を満たす M の点 x が、少なくとも２点存在することを示せ。

ヒント：コンパクト位相空間上の連続関数は最大値、最小値をもつ。

演習問題２． C^{∞} 級多様体 X の部分多様体 Y, Z が横断的に交わるとは, すべての x ∈ Y ∩ Z について T_{x}Y + T_{x}Z = T_{x}X が成立することである。 X のコンパクト部分多様体 Y, Z が横断的に交わるとき, Y ∩ Z も X のコンパクト部分多様体になることを示せ.

ヒント： x_{0} ∈ Y ∩ Z の近傍 U には、コンパクト部分多様体 Y, Z を定義する C^{∞} 級写像 U ⟶ R^{dim X−dim Y}, U ⟶ R^{dim X−dim Z} がある。