２００３年度幾何学 I 試験問題

２００３年９月２２日１３：３０−１６：３０

問題１． 3 次元ユークリッド空間 R^{3} の部分空間について考える。

(1) P = \{(x, y, z) | \frac{1}{z}は整数\} は R^{3} の２次元部分多様体かどうか論ぜよ。

(2) (1) の P に対し、 P ∪ {(x, y, 0) | x ∈ R, y ∈ R} は R^{3} の２次元部分多様体かどうか論ぜよ。

問題２．２次元ユークリッド空間から原点を除いた空間 A = R^{2} \ {(0, 0)} 上の同値関係 ∼ を

(x, y) ∼ (x′, y′) ⇔ ∃n ∈ Z, (x, y) = 2^{n}(x′, y′)

で定義する。 p : A ⟶ A/ ∼ を商空間への射影とする。

(1) 商空間 A/ ∼ は２次元 C^{∞} 多様体であることを示せ。 a, b を ab ≠ 0 となる実数として、 A 上のベクトル場 ax\frac{∂}{∂x} + by \frac{∂}{∂y} を考える。

(2) A/ ∼ 上のベクトル場 X で、 p_{∗}(ax\frac{∂}{∂x} + by \frac{∂}{∂y}) = X となるものが存在することを示せ。

(3) X が生成するフローの閉軌道の個数について論ぜよ。

問題３． S^{3} = {(z_{1}, z_{2}) ∈ C^{2} | |z_{1}|^{2} + |z_{2}|^{2} = 1} とする。 S^{3} 上の同値関係を

(z_{1}, z_{2}) ∼ (w_{1}, w_{2}) ⇔ ∃u ∈ C, |u| = 1, (z_{1}, z_{2}) = u(w_{1}, w_{2})

で定義し、 (z_{1}, z_{2}) の同値類を [z_{1}, z_{2}] で表すことにする。 p : S^{3} ⟶ CP^{1} = S^{3}/ ∼ を商空間への射影とする。 S^{3}, CP^{1} は多様体となることは認める。このとき、 p の接写像 p_{∗} : T_{(z_{1},z_{2})}S^{3} ⟶ T_{[z_{1},z_{2}]}CP^{1} のランクを求めよ。

問題４．平面上の直線全体のなす集合に出来るだけ自然な２次元 C^{∞} 多様体の構造を与えよ。

問題５． C^{∞} 多様体 M 上の点 x_{0} と x_{0} の近傍 U に対して、 C^{∞} 級関数 f : M ⟶ R で、任意の x ∈ M に対し、 f(x) ≧ 0 であり、 f(x_{0}) > 0, {x ∈ M | f(x) ≠ 0} ⊂ U となるものがあることを示せ。