２００３年度幾何学 I 追試験問題

２００３年１２月１０日１５：３０−１８：３０

問題１． 3 次元ユークリッド空間 R^{3} 上の実数値関数 F : R^{3} ⟶ R を

F (x, y, z) = (x^{2} + y^{2} − 1)^{2} + z^{2}

で定義する。 w ∈ R に対し、 F^{−1}(w) は部分多様体となるかどうか論ぜよ。

問題２．複素平面 C から原点を除いた空間 C \ {0} 上の同値関係 ∼ が

z ∼ − \frac{1}{\overline{z}}

で生成されているとする。

(C \ {0})/ ∼ は実２次元微分可能多様体となることをしめせ。

問題３．微分可能多様体上のフロー（１パラメータ変換群) の定義を述べよ。フローとベクトル場の関係を述べよ。

問題４． a, b を正実数とする。 3 次元ユークリッド空間 R^{3} の部分多様体 X と Y を次で定義する。

X = {(x, y, z) ∈ R^{3} | x^{2} + y^{2} = a^{2}}
Y = {(x, y, z) ∈ R^{3} | y^{2} + z^{2} = b^{2}}

(1) a^{2} ≠ b^{2} ならば X と Y は横断的に交わることを示せ。

(2) a^{2} = b^{2} のとき、 X と Y の共通部分は多様体であるかどうか論ぜよ。

問題５．多様体上のリーマン計量の定義を述べよ。コンパクト多様体上には、リーマン計量が存在することについて論ぜよ。