２００４年度幾何学特別演習 I 演習問題 ４月１９日

復習問題１．２変数関数 f(x, y) についての陰関数定理、平面から平面への写像についての逆写像定理を述べよ。

復習問題２． a, b, c を ±1 とするとき、 ax^{2} + by^{2} + cz^{2} = 1 の概形を描け。

演習問題１（チェインルール）． f : R^{m} ⟶ R^{n}, g : R^{ℓ} ⟶ R^{m} をともに連続微分可能な写像とする。すなわち、 f(y) = (f_{1}(y_{1}, …, y_{m}), …, f_{n}(y_{1}, …, y_{m})), g(x) = (g_{1}(x_{1}, …, x_{ℓ}), …, g_{m}(x_{1}, …, x_{ℓ})) の各成分が連続微分可能とする。 f, g の

ヤコビ行列は Df = (\frac{∂f_{i}}{∂y_{j}} )_{i=1,...,n;j=1,...,m}, Dg = (\frac{∂g_{j}}{∂x_{k}} )_{j=1,...,m;k=1,...,ℓ} である。こ

の時、合成写像 f ∘ g : R^{ℓ} ⟶ R^{n} も連続微分可能な写像であることを示し、 f ∘ g のヤコビ行列 D(f ∘ g) について D(f ∘ g)(x) = Df(g(x))Dg(x) を示せ。

演習問題２． 3 次元ユークリッド空間 R^{3} 内の点 P_{1}, ..., P_{k} と、それらの中の２点を結ぶ線分 C_{1} = \overline{P_{i_{1}}P_{j_{1}}}, ..., C_{m} = \overline{P_{i_{m}}P_{j_{m}}} が与えられているとする。これらの線分はお互いに端点以外では交わらず、 {P_{1}, … P_{k}} と両端のみで交わるとする。 (すべて R^{3} の部分集合と考える。 ) {P_{1}, … P_{k}} とこれらの線分の和集合 X が、部分空間としての位相について 1 次元位相多様体となるための条件は何か。このとき、線分の個数と点の個数との間にはどのような関係があるか。

余裕があれば、 P_{1}, ..., P_{k} の中の２点を結ぶ線分 C_{1} = \overline{P_{i_{1}}P_{j_{1}}}, ..., C_{m} = \overline{P_{i_{m}}P_{j_{m}}} と、３点を頂点とする三角形 T_{1} = △P_{u_{1}}P_{v_{1}}P_{w_{1}}, …, T_{ℓ} = △P_{u_{ℓ}}P_{v_{ℓ}}P_{w_{ℓ}} が与えられ、これらの三角形の辺は、 C_{1}, …, C_{m} のどれかであり、三角形の内部と線分や {P_{1}, … P_{k}} は交わらないとする。また、線分はお互いに端点以外では交わらず、 {P_{1}, … P_{k}} と両端のみで交わるとする。 {P_{1}, … P_{k}}、線分、三角形の和集合 Y が部分空間としての位相について 2 次元位相多様体となるための条件を考えてみよ。

演習問題３．

(1) f : R^{2} ⟶ R を f(x, y) = x^{3} − x + y^{2} で定義するとき、 f のヤコビ行列を求めよ。

(2) (1) の f について、 z ∈ R の逆像 f^{−1}(z) の各成分が滑らかな曲線となるための z の条件を求めよ。

(3) F : R^{3} ⟶ R^{2} を F (x, y, z) = (x^{3} − zx + y^{2}, z) で定義するとき、 F のヤコビ行列を求めよ。

(4) (3) の F について、 (s, t) ∈ R^{2} の逆像 F^{−1}(s, t) の各成分が、滑らかな曲線となるための (s, t) の条件を求めよ。

但し、 R^{n} の滑らかな曲線 C とは、 C の各点 x に対し、 x の近傍 U と C^{∞} 級写像 f : U ⟶ R^{n−1} で、 U 上で rankDf = n − 1, U ∩ C = f^{−1}(f(x)) とするものがあることである。（１次元部分多様体であること）