２００４年度幾何学特別演習 I 演習問題 ６月２８日

復習問題１． C^{r} 級関数 f(x) に対するテーラーの定理を f(x)−∑_{k=0}^{r−1} \frac{f^{(k)}(0)}{k!}x^{k} = R_{r}(x)

とするとき、 lim_{x→0} \frac{R_{r}(x)}{x^{r}} = \frac{f^{(r)}(0)}{r!} と理解することにする。

(1) C^{∞} 級関数 f(x) に対し、 r − 1 次多項式 P (x) が lim_{x→0} \frac{|f(x) − P (x)|}{x^{r−1}} = 0 を満た

すならば、 P (x) = ∑_{k=0}^{r−1} \frac{f^{(k)}(0)}{k!}x^{k} となることを示せ。

(2) C^{∞} 級関数 f(x), g(x) に対し、多項式 P (x), Q(x) が lim_{x→0} \frac{|f(x) − P (x)|}{x^{r−1}} = 0,

lim_{x→0} \frac{|g(x) − Q(x)|}{x^{r−1}} = 0 を満たし、 g(0) = 0 とすると、 lim_{x→0} \frac{|(f ∘ g)(x) − (P ∘ Q)(x)|}{x^{r−1}} =

0 となることを示せ。

(*) (1), (2) を C^{∞} 級関数 f : R^{n} ⟶ R, C^{∞} 級写像 g : R^{m} ⟶ R^{n} に対し、拡張せよ。

復習問題２． X : R^{n} ⟶ R^{n} をリプシッツ連続写像とする。 n 次元実ベクトル空間上の常微分方程式\frac{d}{dt}x = X(x) の解 F (t, x) (F (0, x) = x) は初期値 x に対し、リプシッツ連続であることを示せ。

演習問題１． S^{2n+1} = {(z_{1}, ..., z_{n+1}) ∈ C^{n+1} | ∑_{k=1}^{n+1} |z_{k}|^{2} = 1} を C^{n+1} の単位球面

とする。 U(1) = \{e^{\sqrt{−1}θ} | θ ∈ R\} とする。 U(1) × S^{2n+1} ⟶ S^{2n+1} を (e^{\sqrt{−1}θ}, (z_{1}, ..., z_{n+1})) ⟼ (e^{\sqrt{−1}θ}z_{1}, ..., e^{\sqrt{−1}θ}z_{n+1}) で定義すると、これは群 U(1) の S^{2n+1} への作用であることを示せ。

演習問題２． CP^{n} = (C^{n+1} − {0})/C^{×} を n 次元複素射影空間とすると、 CP^{n} は実 2n 次元 C^{∞} 級多様体である。

(1) 結合写像 S^{2n+1} ⟶^{i} C^{n+1} \ {0} ⟶^{p} CP^{n} の rank を求めよ. ヒント： T_{z}S^{2n+1} ⟶ T_{(p∘i)(z)CP^{n}} が全射であることを CP^{n} 上の C^{∞} 級曲線が、 S^{2n+1} 上の C^{∞} 級曲線の像になることを示して、示す。

(2) f(z_{1}, ..., z_{n+1}) = ∑_{k=1}^{n+1} k|z_{k}|^{2}/∑_{k=1}^{n+1} |z_{k}|^{2} で定義される関数 f : C^{n+1}\{0} ⟶ R

は CP^{n} 上の C^{∞} 級関数 F を誘導することを示せ.

(3) F の臨界点 ( F_{∗} : T_{x}CP^{n} ⟶ R が 0 となる点 x) を求めよ。ヒント：合成写像 T_{z}S^{2n+1} ⟶ T_{x}CP^{n} ⟶ R が 0 でない点 z の定める点 x = [z] は正則点である。

(4) F の臨界点におけるヘッセ行列を求めよ。ヒント：復習問題１。