２００４年度幾何学特別演習 I 演習問題 ７月５日

復習問題１．実ベクトル空間上の対称双線形形式あるいは２次形式の定義を述べよ。対称双線形形式あるいは２次形式の符号の定義を述べよ。

復習問題２． (1) C^{∞} 級写像 c : [0, 1] ⟶ R^{n} を曲線と呼ぶ。曲線の長さの定義は何か？

(2) R^{n} の２点 x^{0}, x^{1} に対し、 c(0) = x^{0}, c(1) = x^{1} となる曲線の中で長さが最小のものは、 x^{0}, x^{1} を結ぶ線分であることを示せ。

(3) c(0) = x^{0}, c(1) = x^{1} となる曲線に対し、 A(c) = ∫_{0}^{1} ∥\frac{dc}{dt}∥^{2}dt とおく。 A(c) が最小となる c(t) は、 c(t) = x^{0} + t(x^{1} − x^{0}) となることを示せ。

演習問題１．３次元ユークリッド空間 R^{3} 内の (0, 0, −R) を中心とする半径 R の球面を S_{R} = {(x, y, z) ∈ R^{3} | x^{2} + y^{2} + (z + R)^{2} = R^{2}} とする。このとき p : S_{R} \ {(0, 0, −2R)} ⟶ R^{2} を (0, 0, −2R), x, (p(x), 0) が同一直線上にあることで定義する。 R^{2} 上の曲線 c(t) = (ξ(t), η(t)) (t ∈ [0, 1]) に対し、 p^{−1} ∘ c : [0, 1] ⟶ S_{R} の長さを書き表せ。

演習問題２．３次元ユークリッド空間 R^{3} 内の単位球面を S^{2} = {(x, y, z) ∈ R^{3} | x^{2} + y^{2} + z^{2} = 1} とする。 S^{2} 上の２点を結ぶ S^{2} 上の曲線で長さが最小のものは、原点を通る平面と S^{2} の交わり（大円）上の弧であることを示せ。ヒント：１点を通る大円の族、１点を中心とする小円の族を考える。

演習問題３． n 次元コンパクト多様体上には、リーマン計量が存在することを示せ。ヒント：正値対称行列の全体は凸である。座標近傍による有限被覆とそれに従属した１の分割を使う。

演習問題４． F をコンパクト多様体 M の微分同相写像からなる有限群とする。 M 上のリーマン計量 g で F の任意の元 f について f^{∗}g = g を満たすものがあることを示せ。ヒント：１つのリーマン計量を取り、有限群の作用で移りあう点でのリーマン計量を平均する。

演習問題５． M をユークリッド空間 R^{N} に埋め込まれたコンパクト多様体とする.

(1) 次で定義される X は C^{∞} 多様体であることを示せ.

X = {(x, y) ∈ R^{2N} | x ∈ M, y は T_{x}M に直交する}

(2) (x, y) ⟼ x + y で定義される写像 e : X ⟶ R^{N} は X ∩ (R^{N} × {0}) の近傍では微分同相写像になっていることを示せ. ヒント：逆写像定理。