２００４年度幾何学特別演習 I 演習問題 ７月１２日

復習問題１． R^{2} 上の次で定義される同値関係を考える。

(x_{1}, y_{1}) ∼ (x_{2}, y_{2}) ⟺ ∃(m, n) ∈ Z^{2}, (x_{1} + m, y_{1} + n) = (x_{2}, y_{2})

この同値関係による商空間を R^{2}/Z^{2} と書く。

(1) R^{2}/Z^{2} はハウスドルフ空間であることを示せ。

(2) R^{2}/Z^{2} は２次元多様体であることを示せ。

(3) A を２行２列の整係数行列とするとき、線形写像 A : R^{2} ⟶ R^{2} は微分可能な写像 F_{A} : R^{2}/Z^{2} ⟶ R^{2}/Z^{2} を定義することを示せ。

(4) rank(F_{A})_{∗} を求めよ。

復習問題２． M, N をコンパクト多様体とする。 C^{∞} 級写像 f : M ⟶ N について, M 上のベクトル場 ξ, N 上のベクトル場 η が、すべての x ∈ M に対し、 f_{∗}(ξ(x)) = η(f(x)) を満たすとする。（ f_{∗}ξ = η とも書かれ、 M 上のベクトル場 ξ が、 N 上のベクトル場 η に射影されるという。） ξ が生成するフローを φ_{t} : M ⟶ M, η が生成するフローを ψ_{t} : N ⟶ N とするとき次を示せ。

f(φ_{t}(x)) = ψ_{t}(f(x))

復習問題３． m 次元コンパクト多様体 M 上のフロー φ_{t}(x) が、ベクトル場 ξ で生成されているとする。 M の m−1 次元コンパクト部分多様体 N に対し、 x ∈ N に対して、 ξ(x) ∉ T_{x}N とする。このとき、正実数 ε で、写像 (−ε, ε)×N ∋ (t, x) ⟼ φ_{t}(x) ∈ M が M の開集合への埋め込みとなるようなものが存在することを示せ。

演習問題１． f(x, y) = x^{3} − x − y^{2} とする。 f の等位線の概形を描け。

\frac{d}{dt} (\begin{matrix}x \\ y \end{matrix}) = (\frac{∂f}{∂x} ; \frac{∂f}{∂y} )

の解曲線は、どのような図形になるか。一般に、上の形の微分方程式の解 (x(t), y(t)) について、 f(x(t), y(t)) は非減少であることを示せ。

演習問題２． (1) n 次元ユークリッド空間上の線型ベクトル場 X = ∑_{i,j=1}^{n} a_{ij}x_{j} \frac{∂}{∂x_{i}},

Y = ∑_{i,j=1}^{n} b_{ij}x_{j} \frac{∂}{∂x_{i}} に対して、 [X, Y] を求めよ。

(2) X が生成するフロー φ_{t} について、 (φ_{t})_{∗}Y を書き下し、\frac{d}{dt}|_{t=0}((φ_{t})_{∗}Y ) を求めよ。但し、 (φ_{t})_{∗}Y はベクトル場 Y を微分同相 φ_{t} で写したもので、 ((φ_{t})_{∗}Y)(x) = (φ_{t})_{∗}(Y (φ_{−t}(x))) により定義される。演習問題３．コンパクトリーマン多様体 M について、 X ∈ T_{x}M に対し、 γ_{X}(t) を\frac{dγ}{dt} = X となる測地線とする。

(1) E : T_{x}M ⟶ M を E(X) = γ_{X}(1) で定義すると、 E は T_{x}M の 0 の近傍から、 M の x の近傍への微分同相写像となることを示せ。

(2) 写像 F : T M ⟶ M × M を X ∈ T_{x}M ⊂ T M に対し、 F (X) = (x, E(X)) で定義する。 F は T M の zero section の近傍から M × M の Δ = {(x, x) | x ∈ M} ⊂ M × M の近傍への微分同相写像となることを示せ。

演習問題４． m > n とする。 M, N を m 次元, n 次元コンパクト連結 C^{∞} 多様体とする。 C^{∞} 級写像 F : M ⟶ N を、 M の任意の点 x で、接写像 F_{∗} : T_{x}M ⟶ T_{F (x)}N が全射であるものとする。このとき、 N の任意の点 y に対し、次のような近傍 U_{y} が存在することを示せ。微分同相写像 h : F^{−1}(U_{y}) ⟶ U_{y} × F^{−1}(y) で F = pr_{1} ∘ h を満たすものが存在する。（ファイブレーション定理）ヒント： M にリーマン計量を入れ、 L = F^{−1}(y) の法束 ν(L) = {v ∈ T_{x}(M) |x ∈ L, g(v, w) = 0 for w ∈ T_{x}L} ⊂ T M から、 M へのエクスポネンシャル・マップが、 ν(L) の L の近傍から、 F^{−1}(y) の近傍への微分同相となることを見る。 F^{−1}(y) の近傍から、 F^{−1}(y) への射影 p が定義される。 h = (F, p) で定義する。

演習問題５． G をリー群（多様体であり、群の演算が C^{∞} 級であるもの）とする。 (1) G 上のベクトル場で任意の g ∈ G に対し、 (L_{g})_{∗}ξ = ξ をみたすものを、左不変ベクトル場という。 G 上の左不変ベクトル場全体 𝔤 は dimG 次元のベクトル空間をなすことを示せ。 (𝔤 を G のリー環と呼ぶ。 )

(2) ξ, η を左不変ベクトル場とするとき、 [ξ, η] も左不変ベクトル場であることを示せ。

(3) 1 を G の単位元とする。左不変ベクトル場 ξ が生成する 1 パラメーター変換群を φ_{t} と書くとき、任意の g ∈ G に対し、 φ_{t}(g) = gφ_{t}(1) を示せ。 (φ_{t}(1) = exp(tξ) と書く。 )

(4) ξ に対し、 exp(ξ) を対応させる写像は、 𝔤 の 0 の近傍から G の 1 の近傍への微分同相写像であることを示せ。 (逆関数定理を使う。 )