２００４年度幾何学特別演習 I 演習問題 ４月２６日

復習問題１．関数 f : R^{3} ⟶ R, 写像 F : R^{3} ⟶ R^{2} に対しての陰関数定理を述べよ。

復習問題２．写像 f : R^{m} ⟶ R^{n} が C^{r} 級であることの定義を述べよ。

復習問題３． f(x, y) = cos x · cos y について、 Df = (\frac{∂f}{∂x} , \frac{∂f}{∂y} ) = (0, 0) となる点 (x, y) を求めよ。 f(x, y) はその点で極大であるか、極小であるか判定せよ。

演習問題１． f : R^{m} ⟶ R^{n}, g : R^{ℓ} ⟶ R^{m} を C^{∞} 級の写像とするとき、 f ∘ g : R^{ℓ} ⟶ R^{n} は C^{∞} 級の写像であることを示せ。ヒント： C^{r−1} 級の写像の和、積は C^{r−1} 級。 f が C^{r} 級写像ならば、 Df は C^{r−1} 級。チェインルールを使う。

演習問題２． R^{3} の次の部分集合が滑らかな曲面であるかどうか論ぜよ。

C = {(x, y, z) ∈ R^{3} | x^{2} + y^{2} = z^{2}}

X = \{(x, y, z) ∈ R^{3} | \begin{matrix}z^{2} = −\{x^{2} + y^{2} − 1\}\{(x + 3)^{2} + y^{2} − 1\}· \\ \{(x − 3)^{2} + y^{2} − 1\}\{x^{2} + y^{2} − 25\} \end{matrix}\}

Y = {(x, y, z) ∈ R^{3} | z^{2} = −{(x + 1)^{2} + y^{2} − 1}{(x − 1)^{2} + y^{2} − 1}}

但し、 R^{n} の滑らかな曲面 S とは、 S の各点 x に対し、 x の近傍 V と C^{∞} 級写像 f : V ⟶ R^{n−2} で、 V 上で rankDf = n − 2, V ∩ S = f^{−1}(f(x)) とするものがあることである。（２次元部分多様体であること）

演習問題３． R^{3} 内の曲面 z = x^{3} + xy 上の点 (x_{0}, y_{0}, z_{0}) における接平面の方程式を求めよ。この接平面が x 軸に平行になるような点 (x_{0}, y_{0}, z_{0}) はどのような図形をなすか。 (x 軸を含む場合も平行になるという。 ) その図形の xy 平面への正射影、 xz 平面への正射影、 yz 平面への正射影のみたす方程式を求めよ。

演習問題４． S^{2} = {(x_{1}, x_{2}, x_{3}) ∈ R^{3}|x_{1}^{2} + x_{2}^{2} + x_{3}^{2} = 1} 上の関数 f を

f(x_{1}, x_{2}, x_{3}) = x_{1}^{2} + 2x_{2}^{2} + 3x_{3}^{2}

で定める。 f(x_{1}, x_{2}, x_{3}) はどのような値をとるか。実数 y に対し f^{−1}(y) はどのような図形であるかを論ぜよ。