２００４年度幾何学特別演習 I 演習問題 ５月１７日

復習問題１．位相空間 X がハウスドルフ空間ではないとする。このとき、 X の相異なる２つの点で、任意の X 上の実数値連続関数の値が等しくなることを示せ。

復習問題２．集合 X 上の同値関係 ∼ とは何か。集合 X 上の同値関係 ∼ による商空間 X/ ∼ とは何か。位相空間 X 上の同値関係 ∼ による商空間の商位相とは何か。 π : X ⟶ X/ ∼ を射影とするとき、 f : X/ ∼⟶ R について、 F = f ∘π : X ⟶ R が連続ならば、 f : X/ ∼⟶ R は連続であることを示せ。

演習問題１． xy 平面から原点を除いた位相空間を Z とする。

(1) Z の x 軸に平行な直線の連結成分のなす空間を Y とする。 Y の各点 y に対し、開区間と同相な近傍が存在することを示せ。位相空間 Y はハウスドルフでないことを示せ。

(2) Z 上の関数 f(x, y) = xy の等位線の連結成分のなす空間を X とする。 X の各点 x に対し、開区間と同相な近傍が存在することを示せ。位相空間 X はハウスドルフでないことを示せ。

演習問題２．

(1) RP^{n} = (R^{n+1} − {0})/R^{×} はハウスドルフ空間であることを示せ。（ヒント： x ∈ R^{n+1} − \{0\} に対し、 f_{x} : y ⟼ \frac{|x • y|}{∥x∥ ∥y∥} を考え、２点は関数で分離できることを示す。但し x • y は内積を表す。シュワルツの不等式に注意する。）

(2) RP^{n} は n 次元 C^{∞} 級多様体であることを示せ。

演習問題３．

(1) CP^{n} = (C^{n+1} − {0})/C^{×} はハウスドルフ空間であることを示せ。（ヒント： x ∈ C^{n+1} − \{0\} に対し、 f_{x} : y ⟼ \frac{|x • y|}{∥x∥ ∥y∥} を考え、２点は関数で分離できることを示す。但し x • y はエルミート内積を表す。シュワルツの不等式に注意する。）

(2) CP^{n} は 2n 次元 C^{∞} 多様体であることを示せ。