２００４年度幾何学特別演習 I 演習問題 ５月２４日

復習問題１． X, Y を実ベクトル空間とする。

(1) 実ベクトル空間の次元の定義を述べよ。

(2) 線形写像 X ⟶ Y の階数 (rank) の定義を述べよ。

復習問題２．実ベクトル空間 X の部分空間 Y, Z に対し、 ∀v ∈ X, ∃v_{Y} ∈ Y, v_{Z} ∈ Z, v = v_{Y} + v_{Z} が成立しているとする。このとき、 dim X, dim Y, dim Z, dim Y ∩ Z の関係を述べよ。

演習問題１．位相空間 E, B の間に連続写像 p : E ⟶ B があって、次の条件を満たすとする。ある位相空間 F があって、 B の各点 b に対し、 b の開近傍 U_{b} を選べば、同相写像 h : p^{−1}(U_{b}) ⟶ U_{b} × F で、 pr_{1} ∘ h = p を満たすものが存在する。ここで pr_{1} は第１成分への射影 U_{b} × F ⟶ U_{b} である。 B, F がハウスドルフ空間であると仮定すると、 E もハウスドルフ空間となることを示せ。

演習問題２． n 次元 C^{∞} 級多様体 M の座標近傍系 {(U_{i}, φ_{i})}_{i∈I} について、座標変換 g_{ij} : φ_{j}(U_{i} ∩ U_{j}) ⟶ φ_{i}(U_{i} ∩ U_{j}) は g_{ij} = φ_{i} ∘ (φ_{j}|U_{i} ∩ U_{j})^{−1} で定義される。

(1) φ_{k}(U_{i} ∩ U_{j} ∩ U_{k}) 上で、 g_{ij} ∘ g_{jk} = g_{ik} を満たすことを示せ。 V_{i} = φ_{i}(U_{i}) ⊂ R^{n} と置く。 g_{ii} は V_{i} の恒等写像 id_{V_{i}} とする。また V_{ij} = φ_{j}(U_{i}∩U_{j}) ⊂ V_{j}, V_{ji} = φ_{i}(U_{i} ∩ U_{j}) ⊂ V_{i} とおくと、 g_{ij} : V_{ij} ⟶ V_{ji} は R^{n} の開集合の間の微分同相写像である。 (1) の関係式は、 V_{ik} ∩ V_{jk} \underrightarrow{g_{jk}} V_{ij} ∩ V_{kj} \underrightarrow{g_{ij}} V_{ji} ∩ V_{ki} の結合が V_{ik} ∩ V_{jk} \underrightarrow{g_{ik}} V_{ji} ∩ V_{ki} に等しいというものである。さらに V_{ii} = V_{i} と置くと、 i, j, k のうちの２つが等しい場合にも成立している。

(2) 一般に V_{i} を R^{n} の開集合とする。 {V_{i}}_{i∈I} の disjoint union ⨆_{i∈I} V_{i} の定義を述

べよ。 V_{i} ⊂ R^{n}, V_{ji} ⊂ V_{i} = V_{ii} を開集合、 g_{ij} : V_{ij} ⟶ V_{ji} を C^{∞} 級写像で、 g_{ii} = id_{V_{i}}, g_{jk}(V_{ik} ∩ V_{jk}) = V_{ij} ∩ V_{kj} かつ V_{ik} ∩ V_{jk} 上で、 g_{ij} ∘ g_{jk} = g_{ik} を満たすとする。

(3) ⨆_{i∈I} V_{i} 上の、次の関係 ∼ は同値関係であることを示せ。

x_{i} ∈ V_{i}, x_{j} ∈ V_{j} に対し、 x_{i} ∼ x_{j} ⟺ x_{j} ∈ V_{ij} ⊂ V_{j} かつ x_{i} = g_{ij}(x_{j})

(4) X = (⨆_{i∈I} V_{i})/ ∼ を商空間とする。 X がハウスドルフ空間であると仮定すると、

X は n 次元 C^{∞} 級多様体となることを示せ。

(5) n 次元 C^{∞} 級多様体 M の座標近傍系 {(U_{i}, φ_{i})}_{i∈I} から最初に定義した V_{i}, V_{ij} について、上で構成した X は M と微分同相であることを示せ。