２００４年度幾何学特別演習 I 演習問題 ５月３１日

復習問題１． (1) n ≧ 0 を整数とするとき、 lim_{x↘0} \frac{1}{x^{n}} e^{− \frac{1}{x}} = 0 を示せ。

(y > 0 のとき、 e^{y} > \frac{y^{n}}{n!} を使っても良い。 )

(2) 連続関数 f : [0, ∞) ⟶ R が、 (0, ∞) で微分可能かつ導関数 f′(x) が (0, ∞) で連続とする。 lim_{x↘0} f′(x) が存在するならば、 lim_{x↘0} \frac{f(x) − f(0)}{x} は存在し、 lim_{x↘0} f′(x) に等しいことを示せ。（平均値の定理）

(3) 関数 ρ : R ⟶ R を ρ(x) = \begin{cases}e^{− \frac{1}{x}} & (x > 0) \\ 0 & (x ≦ 0) \end{cases} で定義すると、 ρ は C^{∞} 級であることを示せ。（ρ の m 回微分した式の形が (1) の形の式の１次結合となることを示す。）

復習問題２．コンパクトハウスドルフ空間 X は正規空間であることを示せ。すなわち、 A_{1}, A_{2} を X の閉集合、 A_{1} ∩ A_{2} = ∅ とするとき、開集合 U_{1}, U_{2} で、 A_{1} ⊂ U_{1}, A_{2} ⊂ U_{2}, U_{1} ∩ U_{2} = ∅ となるものが存在することを示せ。

復習問題３．コンパクトハウスドルフ空間 X の開被覆 {U_{i}} に対し、 X の開被覆 \{V_{i}\} で、\overline{V}_{i} ⊂ U_{i} となるものが存在することを示せ。

演習問題１． GL(n; R) は、 n^{2} 次元 C^{∞} 級多様体であることを示せ。 SL(n; R) は、 GL(n; R) の n^{2} − 1 次元 C^{∞} 級部分多様体であることを示せ。ヒント：陰関数定理。 det の微分が det = 1 の点で 0 でないことを、行列式の行あるいは列による展開を用いて示す。

演習問題２． O(n) = \{A ∈ M(n; R) |^{t}AA = I\} は\frac{n(n − 1)}{2} 次元 C^{∞} 級多様体で

あることをしめせ. ヒント：陰関数定理。 A ⟼ ^{t}AA の A における微分が線形写像 X ⟼ ^{t}XA +^{t}AX となること、この線形写像は、 X ⟼ ^{t}AX, Y ⟼ ^{t}Y + Y を結合したもので、ランクがわかる。 (U(n) についても同様。 )

演習問題３．複素射影直線 CP^{1} = (C^{2} − {0})/C^{×} と、（２次元）球面 S^{2} = {(x_{1}, x_{2}, x_{3}) ∈ R^{3} | x_{1}^{2} + x_{2}^{2} + x_{3}^{2} = 1} は微分同相であることを示せ。ヒント： S^{2} について、 (0, 0, 1) からの stereographic projection p_{+} および (0, 0, −1) からの stereographic projection p_{−} により、座標近傍系を定義する。ただし、 p_{±} : S^{2} − {(0, 0, ±1)} ⟶ R^{2} = R^{2} × {0} は (0, 0, ±1), x, (p_{±}(x), 0) が同一直線上にあることにより定義される。 (*) (暇な時に考える問題) stereographic projection は S^{2} 上の円を R^{2} の円または直線に写すことを示せ。