２００４年度幾何学特別演習 I 演習問題 ６月７日

復習問題１．ユークリッド空間上の C^{∞} 級関数 f(x_{1}, …, x_{n}) に対し、次を満たす C^{∞} 級関数 g_{1}(x_{1}, …, x_{n}), …, g_{n}(x_{1}, …, x_{n}) が存在することを示せ。 f(x_{1}, …, x_{n}) = f(0, …, 0) + x_{1}g_{1}(x_{1}, …, x_{n}) + ⋯ + x_{n}g_{n}(x_{1}, …, x_{n})

(このとき、\frac{∂f}{∂x_{k}} (0, …, 0) = g_{k}(0, …, 0) となる。 )

ヒント： f(x_{1}, …, x_{n}) − f(0, …, 0) = ∫_{0}^{1} \frac{df(tx_{1}, …, tx_{n})}{dt} dt

復習問題２． f : M ⟶ R を n 次元コンパクト C^{∞} 級多様体上の C^{∞} 級関数とする。 f_{∗} : T_{x}M ⟶ R について f_{∗} = 0 を満たす M の点 x が、少なくとも２点存在することを示せ。

ヒント：コンパクト位相空間上の連続関数は最大値、最小値をもつ。

演習問題１． G は群であり、 n 次元 C^{∞} 級多様体でもあるとする。群の演算 G×G ⟶ G が C^{∞} 級写像であると仮定する。 (1). G ∋ h ⟼ gh ∈ G を L_{g} と書くと、 L_{g} は C^{∞} 級微分同相であることを示せ。 (2). 群の演算 G × G ⟶ G の接写像 T_{(g,h)}(G × G) ⟶ T_{gh}G のランクを求めよ。

ヒント： c_{g} を g に値をとる定値写像とし、 G ⟶^{(c_{g},L_{h})} g × G ⊂ G × G ⟶^{ 演算 } G ⟶^{L_{(gh)^{−1}}} G

の接写像のランクを考える。

(3). 群の逆元をとる演算 G ⟶ G は C^{∞} 級であることを示せ。

演習問題２． C^{∞} 級多様体 X の部分多様体 Y, Z が横断的に交わるとは, すべての x ∈ Y ∩ Z について T_{x}Y + T_{x}Z = T_{x}X が成立することである。 X のコンパクト部分多様体 Y, Z が横断的に交わるとき, Y ∩ Z も X のコンパクト部分多様体になることを示せ.

ヒント： x_{0} ∈ Y ∩ Z の近傍 U には、コンパクト部分多様体 Y, Z を定義する C^{∞} 級写像 U ⟶ R^{dim X−dim Y}, U ⟶ R^{dim X−dim Z} がある。

演習問題３． n 次元 C^{∞} 級多様体 M の p における方向微分とは多様体 M 上の滑らかな関数のなす実ベクトル空間 C^{∞}(M) 上の線形形式 D で、 D(f · g) = Df · g(p) + f(p) · Dg を満たすものである。 (1). p における方向微分の全体 D_{p} は実ベクトル空間をなすことを示せ。 (2). M 上の曲線 c(t) で c(0) = p となるものに対して、 C^{∞}(M) ∋ f ⟼ D_{c}(f) = \frac{d(f ∘ c)}{dt}(0) とおくと、 D_{c} は p における方向微分であることを示せ。 (3). p のまわりの座標近傍 (U, φ) = (U, (x_{1}, …, x_{n})) に対し、曲線 t ⟼ φ^{−1}(0, …, 0, t, 0, …, 0) (k 番目の座標) に対する方向微分を\frac{∂}{∂x_{k}} と書くとき、

\{\frac{∂}{∂x_{1}} , …, \frac{∂}{∂x_{n}} \} が D_{p} の基底となることを示せ。

ヒント：復習問題１。