２００４年度幾何学特別演習 I 演習問題 ６月１４日

復習問題１．（１）平面上あるいは空間上の正規形の１階常微分方程式とは何か。（２）平面上あるいは空間上の正規形の１階常微分方程式の解の存在と一意性の定理を述べよ。

復習問題２．次の常微分方程式を解け。但し、初期値は (\begin{matrix}x_{0} \\ y_{0} \end{matrix}) とする。

(1) \frac{d}{dt} (\begin{matrix}x \\ y \end{matrix}) = (\begin{matrix}0 & −1 \\ 1 & 0 \end{matrix}) (\begin{matrix}x \\ y \end{matrix}) (2) \frac{d}{dt} (\begin{matrix}x \\ y \end{matrix}) = (\begin{matrix}0 & 1 \\ 1 & 0 \end{matrix}) (\begin{matrix}x \\ y \end{matrix})

演習問題１．コンパクト多様体 M 上のフロー φ_{t} を考える。

(1) １点 x_{0} ∈ M に対し、 φ_{t}(x_{0}) が t について定値写像ではないとする。このとき、ある実数 T (T ≧ 0) が存在し、「φ_{t_{1}}(x_{0}) = φ_{t_{2}}(x_{0}) ならば、整数 n があって、 t_{2} − t_{1} = nT となる」ことを示せ。

(2) １点 x_{0} ∈ M に対し、 φ_{t}(x_{0}) を考える。 M の点 y で、 y の任意の近傍 U_{y} ⊂ M に対し、 sup{t ∈ R | φ_{t}(x_{0}) ∈ U_{y}} = +∞ となるものが存在することを示せ。

演習問題２． (a, b, c) ∈ R^{3} は (0, 0, 0) ではないとする。 R^{2} 上の関数

f(x, y) = (2 + cos y)(a cos x + b sin x) + c sin y

は、 R^{2}/(2πZ)^{2} 上の関数 F : R^{2}/(2πZ)^{2} ⟶ R を定義する。 F の臨界点の個数が有限個であるための条件を述べよ。臨界点におけるヘッシアンが退化するかどうか調べよ。

演習問題３． n 次元実ベクトル空間の開集合 U 上の常微分方程式\frac{d}{dt}x = F (t, x) に対し、

F (t, x) = (f_{1}(t, x) ; ⋮ ; f_{n}(t, x)) が x = (x_{1} ; ⋮ ; x_{n}) について (t に対して一様に) リプシッツであるとし、

このような常微分方程式の解の存在と一意性、解の初期値やパラメータに対する連続性はわかっているとする。さらに、 F (t, x) は x について、 C^{1} 級であるとする。このとき、 t = t_{0} において初期値 x^{0} を

持つ解 Φ(t, x^{0}) = (φ_{1}(t, x^{0}) ; ⋮ ; φ_{n}(t, x^{0})) は、初期値 x^{0} について C^{1} 級で、 A_{ij}(t, x^{0}) = \frac{∂φ_{i}}{∂x_{j}^{0}} (t, x^{0})

は\frac{d}{dt}A_{ij}(t, x^{0}) = ∑_{k=1}^{n} \frac{∂f_{i}}{∂x_{k}} _{(t,Φ(t,x^{0}))}A_{kj}(t, x^{0}) を満たすことを示せ。

ヒント： F (t, x + v) − F (t, x) = ∑ v_{i}G_{i}(t, x, v) とする連続関数 G_{i}(t, x, v) = (G_{i1}(t, x, v) ; ⋮ ; G_{in}(t, x, v)) が存在す

る（６月７日復習問題１）。さらに、 G_{i}(t, x, 0) = \frac{∂F}{∂x_{i}} (t, x, 0) である。 (s, \frac{1}{s} (Φ(t, x^{0} + sv) − Φ(t, x^{0}))) の満たす常微分方程式についての解の存在と一意性、解のパラメータに対する連続性を用いる。