２００４年度幾何学特別演習 I 参考 ６月７日

サードの定理の証明の概略。 Milnor: Topology from the differentiable viewpoint, 足立正久：「埋め込みとはめ込み」による。

(0) A ⊂ R^{n} が測度 0 であるとは、任意の正実数 ε に対し、次を満たす閉立方体の可算族 Q_{i} があること: A ⊂ ⋃_{i} Q_{i}, Q_{i} の辺の長さを δ_{i} とするとき、 ∑_{i} δ_{i}^{n} ≦ ε となる。

(1) R^{n} の測度 0 の集合のリプシッツ同相写像による像は測度 0 である。従って、連続微分可能同相写像による像についても同様。

(2) これにより、微分可能多様体の部分集合が測度 0 であることが定義される。また、サードの定理は、滑らかな写像 F : R^{m} ⟶ R^{n} に対して示せばよい。

(3) サードの定理は、 m < n に対して正しい。

(4) F の臨界点の集合を C とする。 C = {x ∈ R^{m} | rankT_{x}F < n}. F の k 階の偏微分がすべて 0 となる点の集合を C_{k} とする: C ⊃ C_{1} ⊃ C_{2} ⊃ ⋯ ⊃ C_{k}.

(5) フビニの定理「A ∩ {x} × R^{m−1} ⊂ {x} × R^{m−1} がすべての x に対し測度 0 ならば、 A ⊂ R^{m} が測度 0 となる。」を認める。

(6) 「F (C − C_{1}) は測度 0.」 C − C_{1} の点 x の近傍で、 F = (f_{1}(x_{1}, …, x_{m}), …, f_{n}(x_{1}, …, x_{m})) の偏微分の１つは 0 とならない。\frac{∂f_{i}}{∂x_{j}} ≠ 0 のとき、座標の順序を入れ換えて、\frac{∂f_{1}}{∂x_{1}} ≠ 0 とする。逆写像定理から、この近傍で、 h : (x_{1}, x_{2}, …, x_{m}) ⟼ (f_{1}, x_{2}, …, x_{m}) は、局所微分同相。 F ∘ h^{−1} は第 1 番目の座標が、恒等写像で、 F (C − C_{1}) = (F ∘ h^{−1})(h(C − C_{1})) である。 F (C − C_{1}) ∩ {y_{1}} × R^{n−1} = (F ∘ h^{−1})(h(C − C_{1})) ∩ {y_{1}} × R^{n−1} = (F ∘ h^{−1})(h(C − C_{1}) ∩ {x_{1}} × R^{m−1}). ここで h(C − C_{1}) ∩ {x_{1}} × R^{m−1} が F ∘ h^{−1}|{x_{1}} × R^{m−1} の臨界点集合に含まれることがわかる。従って、低い次元のユークリッド空間の間の写像 R^{m−1} ⟶ R^{n−1} に対して、サードの定理が示されていれば、 (5) から (6) が従う。

(7) 「k ≧ 1 のとき、 F (C_{k} − C_{k+1}) は測度 0.」

C_{k} −C_{k+1} の点 x の近傍で、偏微分\frac{∂^{k+1}f_{i}}{∂x_{s_{1}}∂x_{s_{2}} ⋯ ∂x_{s_{k+1}}} は 0 でないが、 w(x) = \frac{∂^{k+1}f_{i}}{∂x_{s_{2}} ⋯ ∂x_{s_{k+1}}}

は 0 である。座標の順序を入れ換えて、 s_{1} = 1 とする。逆写像定理から、この近傍で、 h : (x_{1}, x_{2}, …, x_{m}) ⟼ (w, x_{2}, …, x_{m}) は局所微分同相。 h(C_{k} − C_{k+1}) ⊂ {0} × R^{m−1} であるが、 h(C_{k} − C_{k+1}) は F ∘ h^{−1} を {0} × R^{m−1} に制限した写像の臨界点の集合 (の C_{k}) に含まれる。従って、低い次元のユークリッド空間からの写像 R^{m−1} ⟶ R^{n} に対して、サードの定理が示されていれば、 (7) が従う。

(8) 「(k + 1)n > m ならば、 F (C_{k}) は測度 0.」 k 階偏微分がすべて 0 の点 x_{0} の近傍の点 x_{1} では、 ∥F (x_{1}) − F (x_{0})∥ ≦ K∥x_{1} − x_{0}∥^{k+1}. [0, 1]^{m} を M^{m} の立方体に等分すると, C_{k} と交わる小立方体は辺の長さが (K \frac{1}{M})^{k+1} の M^{m} 個

の立方体に含まれる。その体積 K^{n(k+1)} \frac{M^{m}}{M^{n(k+1)}} は、 (k + 1)n > m のとき、分割を細かくすれば 0 に収束する。

(9) (3) により、帰納法 (6), (7) が成立している。モース関数の存在。 (1) ユークリッド空間 R^{n} 上の関数 f を考える。 (a_{1}, …, a_{n}) に対し、 L(x_{1}, …, x_{n}) = ∑_{i} a_{i}x_{i} と置く。 f − L : R^{n} ⟶ R を考えると、 f − L の臨界点 x は T_{x}f = L となる x である。 f − L の臨界点 x におけるヘッセ行列は (\frac{∂^{2}f}{∂x_{i}∂x_{j}}) である。 f − L が退化する

ヘッセ行列をもつことは、 T_{x}f = L となる x で行列 (\frac{∂^{2}f}{∂x_{i}∂x_{j}}) が定義する線形写像が全射でな

いことである。行列 (\frac{∂^{2}f}{∂x_{i}∂x_{j}}) は写像 (x_{1}, …, x_{n}) ⟼ (\frac{∂f}{∂x_{1}} , …, \frac{∂f}{∂x_{n}}) のヤコビ行列だから、

L は写像 (x_{1}, …, x_{n}) ⟼ (\frac{∂f}{∂x_{1}} , …, \frac{∂f}{∂x_{n}}) の臨界値である。

サードの定理から、臨界値は測度０で、十分小さい L について、 f − L はモース関数となる。 (2) モース関数に 2 階微分まで近い関数はモース関数である。

(3) コンパクト多様体 M 上の任意の関数 F を考える。座標近傍による有限被覆 U_{i} を取り、 V_{i} ⊂ \overline{V_{i}} ⊂ U_{i} で、 \{V_{i}\} が M の被覆となるものをとる。また、 V_{i} 上 1, M − U_{i} 上 0 となる関数 μ_{i} を取る。 (3)-1 F |U_{1} に対し、 f_{1} を F |U_{1} を近似する U_{1} 上のモース関数とすると、 F_{1} = μ_{1}f_{1}+(1−μ_{1})F は V_{1} 上でモース関数。 (3)-2 F_{1}|U_{2} に対し、 f_{2} を F_{1}|U_{2} を近似する U_{2} 上のモース関数とすると、 F_{2} = μ_{2}f_{2}+(1−μ_{2})F_{1} は、 V_{2} 上でモース関数だが、 V_{1} 上でも F_{1} を十分近似していればモース関数。 (3)-k 同様に、 F_{k−1}|U_{k} に対し、 f_{k} を F_{k−1}|U_{k} を近似する U_{k} 上のモース関数とすると、 μ_{k}f_{k} + (1 − μ_{k−1})F_{k−1} は、 V_{k} 上でモース関数だが、 V_{1} ∪ ⋯ ∪ V_{k−1} 上でも F_{k−1} を十分近似していればモース関数。

モースの補題。

(0, …, 0) を f の臨界点、\frac{∂^{2}f}{∂x_{i}∂x_{j}} (0, …, 0) は非退化とする。線形変換で\frac{∂^{2}f}{∂x_{i}∂x_{j}} (0, …, 0) は対

角化されているとする。（少なくとも\frac{∂^{2}f}{∂x_{1}∂x_{1}} (0, …, 0) ≠ 0 とする。）前に復習の問題として出した表示 f = x_{1}g_{1} + ⋯ + x_{n}g_{n} について、 g_{i}(0, …, 0) = 0 だから、

g_{i} = x_{1}h_{i1} + ⋯ + x_{n}h_{in} と書かれる。このとき、 h_{ii} = \frac{∂^{2}f}{∂x_{i}∂x_{j}} (0, …, 0) ≠ 0.

f = ∑_{i,j=1}^{n} h_{ij}x_{i}x_{j} について順に平方完成を行う。 h_{ij} を\frac{h_{ij} + hji}{2} におきかえて、 h_{ij} = h_{ji}

としてよい。 h_{11} は (0, …, 0) の近傍で 0 でないから、

f = h_{11}(x_{1} + \frac{h_{12}}{2h_{11}} x_{2} + ⋯ + \frac{h_{1n}}{2h_{11}} x_{n})^{2} + ∑_{i,j=2}^{n} h′_{ij}x_{i}x_{j} と変形される。

y_{1} = \sqrt{|h_{11}|}(x_{1} + \frac{h_{12}}{2h_{11}} x_{2} + ⋯ + \frac{h_{1n}}{2h_{11}} x_{n}) とおいて、 (x_{1}, x_{2}, …, x_{n}) ⟼ (y_{1}, x_{2}, …, x_{n}) はヤ

コビ行列式が\sqrt{|h_{11}|} だから局所微分同相である。これで座標変換すると、 f = sign(h_{11})y_{1}^{2} + ∑_{i,j=2}^{n} h′_{ij}x_{i}x_{j} と書かれる。但し、 h′_{ij} は (y_{1}, x_{2}, …, x_{n}) の関数の形に書き換わっている。引き続き、 ∑_{i,j=2}^{n} h′_{ij}x_{i}x_{j} について、 x_{2}, …, x_{n} についての線形変換で h′_{22}(0, …, 0) ≠ 0 とす

る。 h′_{22}(0, …, 0) ≠ 0 だから、平方完成を行って、 y_{2} = \sqrt{|h′_{22}|}(x_{2} + \frac{h′_{23}}{2h′_{22}} x_{3} + ⋯ + \frac{h′_{2n}}{2h′_{22}} x_{n})

を使って座標変換すると、 f = sign(h_{11})y_{1}^{2} + sign(h′_{22})y_{2}^{2} + ∑_{i,j=3}^{n} h′′_{ij}x_{i}x_{j} となる。以下同様。