２００４年度幾何学 I 試験問題

２００４年９月１３日 １３：３０−１６：３０

問題１． ３次元ユークリッド空間 R^{3} の部分空間について考える。 A = \{(x, y, z) ∈ R^{3} | \frac{1}{xyz} は整数\} は R^{3} の２次元部分多様体かどうか論ぜよ。

問題２． ３次元ユークリッド空間に埋め込まれた次で定義される２次元トーラス T^{2} を考

える。

T^{2} = \{(x, y, z) ∈ R^{3} | z^{2} + (\sqrt{x^{2} + y^{2}} − 2)^{2} − 1 = 0\}

T^{2} 上の同値関係 ∼ を次のように定義する。

(x_{1}, y_{1}, z_{1}) ∼ (x_{2}, y_{2}, z_{2}) ⟺ (x_{1}, y_{1}, z_{1}) = ±(x_{2}, y_{2}, z_{2})

p : T^{2} ⟶ T^{2}/ ∼ を商空間への射影とする。

(1) T^{2}/ ∼ は２次元多様体であることを示せ。

(2) T^{2}/ ∼ は向き付け可能であるかどうか論ぜよ。

問題３． ３次元ユークリッド空間の単位球面 S^{2} を考える。

S^{2} = {(x, y, z) ∈ R^{3} | x^{2} + y^{2} + z^{2} = 1}

S^{2} には３次元ユークリッド空間の計量から自然に定まるリーマン計量 g = g_{S^{2}} を考える。単位球面の極座標を用いて次の写像を定義する。

F : (−π, π) × (−\frac{π}{2} , \frac{π}{2} ) ⟶ S^{2}

F (θ, φ) = (cos θ cos φ, sin θ cos φ, sin φ)

(1) 次の行列を計算せよ。

(\begin{matrix}g(F_{∗}(\frac{∂}{∂θ}), F_{∗}(\frac{∂}{∂θ})) & g(F_{∗}(\frac{∂}{∂θ}), F_{∗}(\frac{∂}{∂φ})) \\ g(F_{∗}(\frac{∂}{∂φ}), F_{∗}(\frac{∂}{∂θ})) & g(F_{∗}(\frac{∂}{∂φ}), F_{∗}(\frac{∂}{∂φ})) \end{matrix})

(2) S^{2} 上の関数 f : S^{2} ⟶ R に対し、勾配ベクトル場 gradf は、点 p ∈ S^{2} における任意の接ベクトル X ∈ T_{p}S^{2} に対し、 g(gradf_{(p)}, X) = X(f) となるものとして定義される。 S^{2} 上の関数 z : S^{2} ⟶ R に対し、 gradz を計算せよ。 (\frac{∂}{∂x}, \frac{∂}{∂y} , \frac{∂}{∂z} または\frac{∂}{∂θ} , \frac{∂}{∂φ} の一次結合としてあらわすこと。）

問題４． 次元が１以上の空でないコンパクト多様体 M 上の C^{∞} 級関数全体のなすベクトル空間 C^{∞}(M) は無限次元であることを示せ。