２００４年度幾何学 I 追試験問題

２００４年１２月６日 １５：３０−１８：３０

問題１． ３次元ユークリッド空間の部分集合 T^{2} を次で定義する。

T^{2} = \{(x, y, z) ∈ R^{3} | z^{2} + (\sqrt{x^{2} + y^{2}} − 2)^{2} = 1\}

(1) T^{2} は多様体であることを示せ。

(2) 実数 θ に対し、 R^{3} 上の関数 f_{θ}(x, y, z) = x cos θ + z sin θ を考える。これを T^{2} に制限した関数 F_{θ} = f_{θ}|T^{2} : T^{2} ⟶ R の臨界点、臨界値を求めよ。

問題２．(1) 多様体 M 上のフローの定義を述べよ。 (2) コンパクトな多様体上のフローとベクトル場の関係を述べよ。

(3) コンパクトな多様体上の自明でないフローの例をひとつ与えよ。

問題３． 多様体 M の部分多様体 L を考え、 i : L ⟶ M を包含写像とする。多様体 X から多様体 M への C^{∞} 級写像 F : X ⟶ M が L に横断的であるとは、任意の x ∈ F^{−1}(L) に対し、

F_{∗}(T_{x}X) + i_{∗}(T_{F (x)}L) = T_{F (x)}M

が成立することである。このとき、 F^{−1}(L) ⊂ X は X の部分多様体であることを示せ。

問題４．(1) 多様体のリーマン計量の定義を述べよ。 (2) リーマン計量を持つ多様体 M 上の曲線の長さの定義を述べよ。

(3) コンパクトなリーマン計量を持つ多様体の例をひとつ与えよ。