ユークリッド空間の多様体

定理。 R^{n} の部分集合 M について以下の性質が同値である。 p+q = n とする。

• 陰関数表示すべての x^{0} ∈ M に対し、ある近傍 U をとると、 U 上で定義された C^{∞} 級関数 F : U ⟶ R^{q} で、 U 上でヤコビ行列 DF のランクが q であるようなものがあって、 C ∩ U = {x ∈ U | F (x) = F (x^{0})} となる。

• グラフ表示すべての x^{0} = (x_{1}^{0}, …, x_{n}^{0}) ∈ M に対し、ある近傍 U をとると、 p 個の座標方向からなる p 次元ユークリッド空間 R^{p} の点実数 (x_{i_{1}}^{0}, …, x_{i_{p}}^{0}) の近傍 W 上で定義された残りの q 個の座標方向からなる q 次元ユークリッド空間 R^{q} に値を持つ C^{∞} 級写像 G が存在して M ∩ U = {(x_{i_{1}}, …, x_{i_{p}}, G(x_{i_{1}}, …, x_{i_{p}})) | (x_{i_{1}}, …, x_{i_{p}}) ∈ W } となる. 但し、座標は x_{i_{1}}, …, x_{i_{p}}, 残りの q 個の座標からなる R^{q} の順に並べ替えたと考える。

• パラメータ表示すべての x^{0} ∈ M とその近傍 U に対し、 U に含まれる近傍 V をとると、 p 次元ユークリッド空間の開球 W 上で定義された V に値を持つ C^{∞} 級の単射 Φ : W ⟶ V で, すべての u ∈ W に対し DΦ のランクは p であり、 M ∩ V = {Φ(u) | u ∈ W } となる。

証明 グラフ表示が与えられたとき、陰関数は (x_{j_{1}}, …, x_{j_{q}}) をのこりの q 個の座標として、写像F : (x_{1}, …, x_{n}) ⟼ (x_{j_{1}}, …, x_{j_{q}})−G(x_{i_{1}}, …, x_{i_{p}}) ∈

R^{q} を考えると、(\begin{matrix}\frac{∂f_{j_{1}}}{∂x_{j_{1}}} & … & \frac{∂f_{j_{1}}}{∂x_{j_{q}}} \\ ⋮ & ... & ⋮ \\ \frac{∂f_{j_{q}}}{∂x_{j_{1}}} & … & \frac{∂f_{j_{q}}}{∂x_{j_{q}}} \end{matrix} ) は単位行列で、 DF のランクは q

かつ M ∩ U = F^{−1}(F (x^{0})) = F^{−1}(0) となる。グラフ表示自体が特殊なパラメータ表示で、

Φ(x_{i_{1}}, …, x_{i_{p}}) = (x_{i_{1}}, …, x_{i_{p}}, G(x_{i_{1}}, …, x_{i_{p}}))

としたものである。(\begin{matrix}\frac{∂φ_{i_{1}}}{∂x_{i_{1}}} & … & \frac{∂φ_{i_{1}}}{∂x_{i_{p}}} \\ ⋮ & ... & ⋮ \\ \frac{∂φ_{i_{p}}}{∂x_{i_{1}}} & … & \frac{∂φ_{i_{p}}}{∂x_{i_{p}}} \end{matrix} ) 単位行列で、 DΦ のランクは

p かつ M ∩ U = {Φ(u) | u ∈ W } となる。

陰関数表示が与えられとき、グラフ表示ができることは陰関数定理による。

最後に、パラメータ表示が与えられたとき、 n 行 p 列の行列 DΦ =

(\begin{matrix}\frac{∂φ_{1}}{∂u_{1}} & … & \frac{∂φ_{1}}{∂u_{p}} \\ ⋮ & ... & ⋮ \\ \frac{∂φ_{n}}{∂u_{1}} & … & \frac{∂φ_{n}}{∂u_{p}} \end{matrix} ) のランクは p である。このとき、座標 x_{1}, …, x_{n}

の順序を入れ替えて、(\begin{matrix}\frac{∂φ_{1}}{∂u_{1}} & … & \frac{∂φ_{1}}{∂u_{p}} \\ ⋮ & ... & ⋮ \\ \frac{∂φ_{p}}{∂u_{1}} & … & \frac{∂φ_{p}}{∂u_{p}} \end{matrix} ) が、可逆であるとして良い。

φ(u^{0}) = x^{0}, Φ_{1}(u) = (φ_{1}(u), …, φ_{p}(u)) とすると、逆写像定理により、 (φ_{1}(u^{0}), …, φ_{p}(u^{0})) の近傍 W_{1} から、 W に値を持つ C^{∞} 級写像 H が存在し、 H ∘Φ = id_{H(W_{1})}, Φ∘H = id_{W_{1}} を満たしている。 x_{1} = (x_{1}, …, x_{p}), Φ_{2}(u) = (φ_{p+1}(u), …, φ_{p+q}(u)) (p + q = n) として、

Φ(H(x_{1})) = (Φ_{1}(H(x_{1})), Φ_{2}(H(x_{1}))) = (x_{1}, Φ_{2}(H(x_{1}))) を得る。従って、 (W_{1} × R^{q}) ∩ V において、グラフ表示を得る。

この定理の仮定を満たす図形をユークリッド空間 R^{n} の次元 p(余次元 q) 部分多様体と呼ぶ。

パラメータ表示は次の形でも良い。すべての x^{0} ∈ M に対し、ある近傍 U をとると、 p 次元ユークリッド空間の開集合 W 上で定義された U に値を持つ C^{∞} 級の単射 Φ : W ⟶ U で, すべての u ∈ W に対し DΦ のランクは p であり、 u_{0} = Φ^{−1}(x_{0}) の任意の近傍 W′ に対し、 x^{0} ∈ M の近傍 U′ をとると、 M ∩ U′ = {Φ(u) | u ∈ W′} となる。