2006 年度 幾何学V 講義予定、演習問題



講義内容 復習問題内容 演習問題内容 DVIファイル PDFファイル
10月3日 イントロダクション、微積分学の基本定理、ユークリッド空間上の微分形式、関数の全微分 微積分学の基本定理、C^r級関数、微分の順序
全微分の線積分、積分可能条件、シリンダ上の閉形式
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10月10日 1次微分形式が全微分となるための条件、微分形式、外積、外微分、面積分 複素関数
微分形式の外積、ライプニッツルール
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10月17日 微分形式の引き戻し、ポアンカレの補題
直方体からの写像に沿う積分、微分形式の引き戻し、外積、写像の合成
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10月24日 休講



10月31日 ポアンカレの補題の証明 多様体の定義、関数の拡張
引き戻しと外微分の可換性、積分Ia、余接空間
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11月7日 多様体の復習、多様体上の微分形式、余接空間、ドラーム複体、トーラスのドラームコホモロジー
ドラームコホモロジーの間の準同型、外積、Ia、区間との直積のドラームコホモロジー
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11月14日 ファンクター、Mayer-Vietoris の完全列 フーリエ級数
微分可能ホモトピー、ユークリッド空間との直積、円周のドラームコホモロジー
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11月21日 Mayer-Vietoris の完全列、球面のドラーム コホモロジー ステレオグラフィック・プロジェクション
球面のドラームコホモロジー、モース理論とドラームコホモロジー
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11月28日 チェック・ドラーム理論
チェック・ドラーム複体
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12月5日 10 キネットの公式、カップ積
5項補題、テンソル積
キネットの公式、カップ積 DVI PDF
12月12日 11 線積分、チェイン上の積分 非退化双線形形式 線積分、単体上の積分 DVI PDF
12月19日 12 単体的ドラーム理論
単体的ドラーム理論のプリント DVI PDF
1月16日 13 多様体の向き付け、積分、ストークスの定理

内部積、ストークスの定理、写像度、ガウス写像
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1月23日 14
ベクトル場と微分形式、カルタンの公式

多項式ベクトル場、多項式微分形式、リー微分、内部積、リー群
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1月30日
15
ポアンカレ双対定理




2月8日

試験




演習について
演習の時間は付いていないので, 問題を宿題として出します。木曜日の午後5時までに提出されたものを、 TAに添削してもらい、次の講義の時間に返却します(原則として)。提出された宿題については記録をとって幾何学IIIの成績に考慮します。

試験について         
成績は筆記試験により判定します。成績が必ずしも良くなかった場合、 演習問題の解答の提出状況を大きく考慮します。

参考書: 松島与三 多様体入門 裳華房 数学選書 ISBN:4785313056

松本 幸夫 多様体の基礎 東京大学出版会基礎数学〈5〉 ISBN:4130621033

深谷賢治 解析力学と微分形式 岩波書店現代数学への入門 ISBN:4000068849

森田茂之 微分形式の幾何学 岩波書店 ISBN:4000058738

ボット,トゥー,三村護 訳 微分形式と代数トポロジー シュプリンガー・フェアラーク東京 ISBN:4431707077

予備知識について

この講義は、理学部数学科3年生の幾何学Tの知識を半ば前提にしているものです。 多様体の定義、多様体の接空間、多様体上のベクトル場などについては、 多様体論の教科書を参照してください。

この講義の内容は、 教養学部2年生の講義「数理科学T」あるいは「数理科学V」の内容を 多様体上に一般化するものです。ユークリッド空間上の実際の計算などでは、 「数理科学T」あるいは「数理科学V」の教科書、参考書が 役に立つこともあります。

私の教科書を参照してくれる人は、ホームページから、記述の訂正を 見てください。

この講義は、録画する予定です。講義は、http://www.ms.u-tokyo.ac.jp/video/
で参照することが出来ます。

講義ノート1
講義ノート2
講義ノート3
講義ノート4
講義ノート5
講義ノート6